Integrale doppio
Ciao ragazzi!
Ho svolto quest'integrale doppio e non avendo soluzioni vorrei chiedervi se i passaggi sono corretti.
$ int_{D} x^2+y^2\ dxdy $ con $ E={(x,y)\in R^2 | x^2+y^2-2rx<=0, \ r>0} $
Dominio: circonferenza $ C=(r,0) $e $raggio= r $.
Ho inserito le coordinate polari:
\begin{cases}
x=r+rcos\theta = r(1+cos\theta)\\
y=rsin\theta \\
\end{cases}
Con le coordinate polari avrò che:
\begin{cases}
0\leq \rho \leq \sqrt{2r^2(1+cos\theta)} \\
0\leq\theta\leq2\pi \\
\end{cases}
$ int_{0}^{2\pi}int_{0}^{\sqrt{2r^2(1+cos\theta)} } \rho^3 d\thetad\rho$
Il risultato mi viene: $ 2\pi[r^4(1+cos^2\theta-2cos\theta)] $
E' giusto?
Grazie!
Ho svolto quest'integrale doppio e non avendo soluzioni vorrei chiedervi se i passaggi sono corretti.
$ int_{D} x^2+y^2\ dxdy $ con $ E={(x,y)\in R^2 | x^2+y^2-2rx<=0, \ r>0} $
Dominio: circonferenza $ C=(r,0) $e $raggio= r $.
Ho inserito le coordinate polari:
\begin{cases}
x=r+rcos\theta = r(1+cos\theta)\\
y=rsin\theta \\
\end{cases}
Con le coordinate polari avrò che:
\begin{cases}
0\leq \rho \leq \sqrt{2r^2(1+cos\theta)} \\
0\leq\theta\leq2\pi \\
\end{cases}
$ int_{0}^{2\pi}int_{0}^{\sqrt{2r^2(1+cos\theta)} } \rho^3 d\thetad\rho$
Il risultato mi viene: $ 2\pi[r^4(1+cos^2\theta-2cos\theta)] $
E' giusto?
Grazie!
Risposte
Ciao! L'integrale doppio è un numero, non può venirti dipendente da una delle variabili di integrazione ($\theta$ in questo caso); l'unica dipendenza che può avere in questo caso è da $r$, perché è un parametro. Quindi non si capisce di cosa richiedi la verifica della correttezza, l'unica cosa plausibile sembra una richiesta della correttezza del risultato dell'integrale "interno" in $\text{d}\rho$.
Comunque no, non è corretto: hai usato la stessa variabile sia per il raggio $r$ del cerchio sia per la coordinata polare corrispondente al raggio uscente dal polo scelto, non sono la stessa cosa. Uno è un segmento (o la lunghezza di esso), l'altra è una coordinata che descrive la distanza dal polo scelto. Piuttosto chiamalo $\rho$, altrimenti non si capisce nulla. Quindi, l'uguaglianza $r+r\cos \theta=r(1+\cos \theta)$ non ha senso, di conseguenza è sbagliato tutto ciò che viene dopo.
Te ne potevi accorgere anche dal fatto che: hai usato le coordinate polari con polo il centro del cerchio, ossia con polo $(r,0)$. Quindi, dato che l'insieme $E$ (o $D$? Cambia nome tra integrale e insieme) è proprio tale cerchio, in tali coordinate $\rho$ non può dipendere dall'angolo $\theta$, altrimenti non descrive un cerchio.
Infatti, usando le coordinate polari:
$$x(\rho,\theta)=r+\rho \cos \theta$$
$$y(\rho,\theta)=\rho \sin \theta$$
La condizione che descrive $E$ diventa:
$$x^2+y^2-2rx \le 0 \iff r^2 +2r \rho \cos \theta+\rho^2 \cos^2 \theta+\rho^2 \sin^2 \theta-2r^2-2r \rho \cos \theta \le 0$$
$$\iff \rho^2 \le r^2 \iff 0 \le \rho \le r$$
Non hai condizioni su $\theta$, quindi esso varia nel suo dominio naturale $0 \le \theta <2 \pi$. Quindi l'integrale proposto è uguale a:
$$\int_0^{2\pi} \left(\int_0^r [(r+\rho \cos \theta)^2+\rho^2 \sin^2 \theta] \rho \text{d} \rho\right) \text{d} \theta$$
Edit: Corretti svariati errori di battitura.
Comunque no, non è corretto: hai usato la stessa variabile sia per il raggio $r$ del cerchio sia per la coordinata polare corrispondente al raggio uscente dal polo scelto, non sono la stessa cosa. Uno è un segmento (o la lunghezza di esso), l'altra è una coordinata che descrive la distanza dal polo scelto. Piuttosto chiamalo $\rho$, altrimenti non si capisce nulla. Quindi, l'uguaglianza $r+r\cos \theta=r(1+\cos \theta)$ non ha senso, di conseguenza è sbagliato tutto ciò che viene dopo.
Te ne potevi accorgere anche dal fatto che: hai usato le coordinate polari con polo il centro del cerchio, ossia con polo $(r,0)$. Quindi, dato che l'insieme $E$ (o $D$? Cambia nome tra integrale e insieme) è proprio tale cerchio, in tali coordinate $\rho$ non può dipendere dall'angolo $\theta$, altrimenti non descrive un cerchio.
Infatti, usando le coordinate polari:
$$x(\rho,\theta)=r+\rho \cos \theta$$
$$y(\rho,\theta)=\rho \sin \theta$$
La condizione che descrive $E$ diventa:
$$x^2+y^2-2rx \le 0 \iff r^2 +2r \rho \cos \theta+\rho^2 \cos^2 \theta+\rho^2 \sin^2 \theta-2r^2-2r \rho \cos \theta \le 0$$
$$\iff \rho^2 \le r^2 \iff 0 \le \rho \le r$$
Non hai condizioni su $\theta$, quindi esso varia nel suo dominio naturale $0 \le \theta <2 \pi$. Quindi l'integrale proposto è uguale a:
$$\int_0^{2\pi} \left(\int_0^r [(r+\rho \cos \theta)^2+\rho^2 \sin^2 \theta] \rho \text{d} \rho\right) \text{d} \theta$$
Edit: Corretti svariati errori di battitura.
Caspita è vero. Ho confuso la $ r $ con $ \rho $ e ho messo $\rho^2$ nell'integrale senza considerare che le coordinate polari sono diverse da quelle standard. Ora me lo rifaccio tutto.
Grazie Mephlip!
Grazie Mephlip!
Ciao Dr.Hermann,
Se non ho fatto male i conti mi risulta
$ \int_E (x^2+y^2) \text{d}x \text{d}y = (3\pi)/2 r^4 $
ove $E := {(x,y) \in \RR^2 | x^2+y^2-2rx \le 0, \ r>0} $
Se non ho fatto male i conti mi risulta
$ \int_E (x^2+y^2) \text{d}x \text{d}y = (3\pi)/2 r^4 $
ove $E := {(x,y) \in \RR^2 | x^2+y^2-2rx \le 0, \ r>0} $
Ciao Pilloeffe!
Si ho rifatto tutti i conti e mi viene esattamente cosi. Facendolo di fretta ho fatto diversi orrori, trascurando variabili etc..Ora con calma mi viene corretto.
Ancora grazie a tutti per l'aiuto!!
Si ho rifatto tutti i conti e mi viene esattamente cosi. Facendolo di fretta ho fatto diversi orrori, trascurando variabili etc..Ora con calma mi viene corretto.
Ancora grazie a tutti per l'aiuto!!
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