Integrale Doppio
Salve,
ho un integrale doppio da risolvere ma non capisco cosa mi chiede il testo. Ho l'integrale:
\[ \iint_{\Sigma} \, \frac{x ^ 2 - z} {\sqrt {1+4(x ^ 2 + y ^ 2)}} dA \]
dove \[ \Sigma \] è la porzione di grafico della funzione \[ z = x^2-y^2 \] che si proietta in
\[ {(x,y) \in R^2 | x^2+4y^2 \leq 4} \].
Io pensavo di fare cosi: disegnare ansi tutto il grafico dell'ellisse e inserendo la retta \[ y=x \] ho proiettato i punti di intersezione ( che si ottengono mettendo a sistema l'ellisse e la retta) sugli assi. Il dominio è tutto quello interno all'ellisse. Ma una volta fatto questo non so come procedere. Devo applicare le coordinate cilindriche? Datemi un input per favore.
Grazie!!
ho un integrale doppio da risolvere ma non capisco cosa mi chiede il testo. Ho l'integrale:
\[ \iint_{\Sigma} \, \frac{x ^ 2 - z} {\sqrt {1+4(x ^ 2 + y ^ 2)}} dA \]
dove \[ \Sigma \] è la porzione di grafico della funzione \[ z = x^2-y^2 \] che si proietta in
\[ {(x,y) \in R^2 | x^2+4y^2 \leq 4} \].
Io pensavo di fare cosi: disegnare ansi tutto il grafico dell'ellisse e inserendo la retta \[ y=x \] ho proiettato i punti di intersezione ( che si ottengono mettendo a sistema l'ellisse e la retta) sugli assi. Il dominio è tutto quello interno all'ellisse. Ma una volta fatto questo non so come procedere. Devo applicare le coordinate cilindriche? Datemi un input per favore.
Grazie!!
Risposte
Ciao Dr.Hermann,
L'integrale che si vuole calcolare è l'integrale della funzione $f(x, y, z) = \frac{x^2 - z}{\sqrt {1+4(x^2 + y^2)}} $ sulla superficie, data come grafico della funzione $z = g(x, y) = x^2 - y^2 $ sul dominio $ D := {(x,y) \in \RR^2 : x^2 + 4y^2 \le 4} $
Usando la definizione di integrale superficiale, si ha:
$ \text{d}A = \sqrt{1 + ||\nabla g(x, y) ||^2} \text{d}x \text{d}y = \sqrt{1 + 4(x^2 + y^2)} \text{d}x \text{d}y $
Quindi si ha:
$ \int \int_{\Sigma} \frac{x^2 - z}{\sqrt{1+4(x^2 + y^2)}} \text{d}A = \int \int_D \frac{x^2 - x^2 + y^2}{\sqrt{1+4(x^2 + y^2)}} \sqrt{1 + 4(x^2 + y^2)} \text{d}x \text{d}y = \int \int_D y^2 \text{d}x \text{d}y $
A questo punto, scrivendo il dominio nella forma $D = {(x,y) \in \RR^2 : x^2/2^2 + y^2/1^2 \le 1} $, conviene utilizzare la trasformazione
$\{(x = 2\rho cos\theta),(y = \rho sin\theta):}$
con $\theta \in [0, 2\pi) $, sicché il dominio si può scrivere $D' = {(\rho,\theta) \in \RR^2 : 0 <= \rho <= 1, 0 <= \theta < 2\pi} $
Essendo $ 2\rho $ lo Jacobiano della trasformazione, si ha:
$ \int \int_D y^2 \text{d}x \text{d}y = \int_0^1 \int_0^{2 \pi} \rho^2 sin^2\theta \cdot 2\rho \text{d}\rho \text{d}\theta = 2 \int_0^1 \rho^3 \text{d}\rho \int_0^{2 \pi} sin^2\theta \text{d}\theta = ... = \pi/2 $
L'integrale che si vuole calcolare è l'integrale della funzione $f(x, y, z) = \frac{x^2 - z}{\sqrt {1+4(x^2 + y^2)}} $ sulla superficie, data come grafico della funzione $z = g(x, y) = x^2 - y^2 $ sul dominio $ D := {(x,y) \in \RR^2 : x^2 + 4y^2 \le 4} $
Usando la definizione di integrale superficiale, si ha:
$ \text{d}A = \sqrt{1 + ||\nabla g(x, y) ||^2} \text{d}x \text{d}y = \sqrt{1 + 4(x^2 + y^2)} \text{d}x \text{d}y $
Quindi si ha:
$ \int \int_{\Sigma} \frac{x^2 - z}{\sqrt{1+4(x^2 + y^2)}} \text{d}A = \int \int_D \frac{x^2 - x^2 + y^2}{\sqrt{1+4(x^2 + y^2)}} \sqrt{1 + 4(x^2 + y^2)} \text{d}x \text{d}y = \int \int_D y^2 \text{d}x \text{d}y $
A questo punto, scrivendo il dominio nella forma $D = {(x,y) \in \RR^2 : x^2/2^2 + y^2/1^2 \le 1} $, conviene utilizzare la trasformazione
$\{(x = 2\rho cos\theta),(y = \rho sin\theta):}$
con $\theta \in [0, 2\pi) $, sicché il dominio si può scrivere $D' = {(\rho,\theta) \in \RR^2 : 0 <= \rho <= 1, 0 <= \theta < 2\pi} $
Essendo $ 2\rho $ lo Jacobiano della trasformazione, si ha:
$ \int \int_D y^2 \text{d}x \text{d}y = \int_0^1 \int_0^{2 \pi} \rho^2 sin^2\theta \cdot 2\rho \text{d}\rho \text{d}\theta = 2 \int_0^1 \rho^3 \text{d}\rho \int_0^{2 \pi} sin^2\theta \text{d}\theta = ... = \pi/2 $
Grazie mille. Sei stato chiarissimo su tutto.
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