Integrale doppio

[annachiara.cassoli]

Ciao a tutti sono un po' in crisi con questo esercizio...
devo calcolare il seguente integrale doppio: $ int int_(A)^() xydx dy $ con $ A= {(x,y)in R^2: x^2<=y<=2x^2, 1/x<=y<=3, x>=0} $ .

Ho provato a risolverlo col metodo dei fili orizzontali ma senza grandi risultati.. qualcuno saprebbe darmi una mano plz?

[pilloeffe]

Ciao enni,

Hai provato a fare un disegno di $A$?

Siamo nel primo quadrante (dato che $x > 0 $ e $ x^2<=y<=2x^2, 1/x<=y<=3 $), $y = 3 $ è una retta orizzontale, $y = x^2 $ una parabola più aperta di $y = 2x^2 $ e $y = 1/x $ un'iperbole equilatera. Potresti cominciare a trovare i punti di intersezione fra le quattro curve e considerare $A $ come $y$-semplice...

[annachiara.cassoli]

Innanzitutto grazie pilloeffe!!
Allora a me viene questo grafico e ho trovato i punti di intersezione... è tutto nella foto.
Il problema è che mi incasino un sacco con gli intervalli di integrazione... sono ancora alle prime armi

[pilloeffe]

"enni":Innanzitutto grazie pilloeffe!!

Prego!

Beh, farei così:

$ \int \int_A xy \text{d}x \text{d}y = \int_1^{\root[3]{2}} y \text{d}y \int_{1/y}^{\sqrt y} x \text{d}x + \int_{\root[3]{2}}^3 y \text{d}y \int_{\sqrt{y/2}}^{\sqrt y} x \text{d}x = \int_1^{\root[3]{2}} y (1/2 y - 1/(2y^2)) \text{d}y + \int_{\root[3]{2}}^3 y y/4 \text{d}y = $
$ = 1/2 \int_1^{\root[3]{2}} (y^2 - 1/y) \text{d}y + 1/4 \int_{\root[3]{2}}^3 y^2 \text{d}y = 1/2 \int_1^{\root[3]{2}} y^2 \text{d}y - 1/2 \int_1^{\root[3]{2}} 1/y \text{d}y + 1/4 \int_{\root[3]{2}}^3 y^2 \text{d}y = $
$ = 1/2 \cdot 1/3 - 1/2 \cdot (ln2)/3 + 1/4 \cdot 25/3 = 1/6 - (ln2)/6 + 25/12 = 27/12 - (2 ln2)/12 = \frac{27 - 2 ln2}{12} = 9/4 - (ln2)/6 $

Controlla i conti...

[annachiara.cassoli]

Sei una salvezza!!!
Grazie mille!!!!