Integrale doppio

[cri981]

ciao ragazzi
devo risolvere il seguente integrale:

$ int int_(D) x(1-y)dx dy $
$ D={(x,y)in R^2:x^2+y^2<=1,y<=x,x>=0,y>=0} $



trovato il dominio, lo vado a considerare normale rispetto a x
$0<=x<=1$
$0<=y<=x$
è coretto il dominio di integrazione?
grazie

[l'abatefarina]

il disegno non corrisponde al dominio, che è la parte di cerchio del primo quadrante per la quale $y<=x$
quest'ultima informazione ti fornisce un angolo da usare per passare alle coordinate polari

[Bokonon]

@cri98
Sono 9 mesi che proponi integrali doppi...e ancora non sai identificare un dominio così banale?

[cri981]

ciao abatefarina
si lo so che non corrisponde si deve considerare il primo quadrante (la fetta più scura)
l'angolo non ho ben capito cosa intendi.
passando alle coordinate polari avrei

$0<=rho<=1$
$ 0<=vartheta<=pi/2$?

grazie

[l'abatefarina]

no, l'angolo varia tra $0$ e $pi/4$ perchè c'è $y<=x$
questa retta forma un angolo di $pi/4$ col semiasse positivo delle x

[pilloeffe]

Ciao cri98,

A parte il fatto che hai sbagliato le limitazioni per l'angolo, a meno che non sia esplicitamente richiesto dall'esercizio non passerei alle coordinate polari, ma porterei avanti il discorso

"cri98":trovato il dominio, lo vado a considerare normale rispetto a x
$ 0<=x<=1 $
$ 0<=y<=x $

Il fatto è che anche qui hai sbagliato le limitazioni, che invece sono le seguenti:

$0 <= y <= sqrt2/2 $
$0 <= y <= x <= sqrt{1 - y^2} $

Così facendo mi risulta $ \int \int_D x(1-y)\text{d}x \text{d}y = sqrt2/6 - 1/16 $

[cri981]

ciao pilloeffe
guardando il tuo svolgimento ho risolto i miei dubbi, per trovare l'estremo di y bastava mettere a sistema le due equazioni, mentre per l'estremo x bastava risolvere l'equazione della circonferenza rispetto a x.
grazie

ringrazio anche abatefarina per avermi aiutato a ragionare :
graziesmt023