Integrale doppio

[freekiller]

Ciao non capisco la soluzione di questo integrale:
$ int int_(Omega )^() x^2ydx dy , Omega=\{(x,y)in \mathbf{R}^2:x^2leqy,x^2+y^2leq2\} $ .

Io l'ho risolto così: $ int_(-1)^(1) int_(x^2)^(sqrt(2-x^2)) x^2ydy dx = 34/105 $.

Dove sbaglio? Dovrebbe venire $268/255$.

[pilloeffe]

Ciao Ingegnato,

"Ingegnato":Dove sbaglio?

Non sono in grado di dirtelo perché non hai scritto alcun passaggio...

Comunque anche a me risulta $34/105 $, ma magari abbiamo sbagliato tutti e due...

[freekiller]

Eh ma appunto l'errore secondo me sta nel passaggio dalla definizione del dominio all'impostazione dell'integrale, proprio perché la soluzione di quella che ho impostato io è quella (calcolata anche con risolutori).

[pilloeffe]

Dato che la funzione è pari rispetto a $x $, cioè $f(-x,y) = f(x, y) $, prova a considerare che si ha:

$\int\int_(\Omega ) x^2y\text{d}x \text{d}y = 2 \int\int_(\Omega^+) x^2y\text{d}x \text{d}y $

e $ \Omega^+ $ è $y$-semplice...

[bastian.0]

Scusatemi, mi inserisco perché ho un quesito. E se volessi svolgerlo con le coordinate polari? Mi ritrovo con ro compreso tra 0e rad2 e l' angolo tra pi/4 e pi/2 ed essendo dominio simmetrico moltiplico per 2? Non capisco cosa sbaglio perché mi porta 16/15 .
Grazie. Ditemi un po' cosa fareste

[Bokonon]

"bastian.0":Mi ritrovo con ro compreso tra 0e rad2 e l' angolo tra pi/4 e pi/2 ed essendo dominio simmetrico moltiplico per 2?

Ci sono due errori nel tuo ragionamento.
Il primo è che integri solo su una parte del dominio.
Il secondo è guardi alla simmetria del dominio mentre devi assicurarti che la funzione sia simmetrica rispetto al dominio simmetrico. Ricorda che stai calcolando il volume sotto una superficie: quindi il volume calcolato rispetto a due sezioni simmetriche del dominio potrebbe essere completamente diverso (e spesso lo è).

Partiamo dal secondo punto: la $f(x,y)=x^2y$ è effettivamente simmetrica rispetto al dominio.
$y>0$ sempre e $f(-x,y)=f(x,y)$ quindi la funzione è pari.
Il dominio è la sezione viola:

ed ho inserito anche le rette $y=x$ e $y=-x$.
Tu hai integrato solo fra $y=x$ e $x=0$ e per la ragione sbagliata (la simmetria del dominio).

Visto che la superficie e il dominio sono simmetrici, possiamo pasare alle coordinate polari e spezzare il tutto in due integrali e moltiplicare la loro somma/volume per 2.
Il primo è $2*int_(pi/4)^(pi/2) int_0^sqrt(2) rho^4sin(theta)cos^2(theta) dr d theta$ che dovrebbe essere quello che hai calcolato tu.

Ora manca di integrare la superficie fra la parabola e la retta $y=x$
$0

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[bastian.0]

Ti ringrazio tantissimo. Eh per ro... Non posso usare la circonferenza perché non tocca il dominio che mi serve e la disequazione la uso per trovare l'angolo teta, quindi non ho idea di cosa usare!

[bastian.0]

Cioè... Mi verrebbe da dire ro lo integro tra 0 e rad2 e poi angolo tra 0 e pi/4 e poi moltiplico per 2! Esatto? Non ci sarei mai arrivato a considerare le bisettrici!!

[pilloeffe]

Chiedo scusa, non è che sia contrario alle coordinate polari, anzi, ma credo che nel caso dell'integrale proposto considerare quanto ho scritto in un mio post precedente sia molto più semplice:

$ \int\int_(\Omega ) x^2y\text{d}x \text{d}y = 2 \int\int_(\Omega^+) x^2y\text{d}x \text{d}y = 2[\int_0^1 y \text{d}y \int_{0}^{sqrt{y}} x^2 \text{d}x + \int_1^{\sqrt{2}} y\text{d}y \int_0^{sqrt{2 - y^2}} x^2 \text{d}x] = $
$ = 2[\int_0^1 y sqrt{y}^3/3 \text{d}y + \int_1^{\sqrt{2}} y sqrt{2 - y^2}^3/3 \text{d}y] = 2/3 [\int_0^1 y^{5/2} \text{d}y + \int_1^{\sqrt{2}} y sqrt{2 - y^2}^3 \text{d}y] = $
$ = 2/3 [2/7 + 1/5] = 2/3 \cdot 17/35 = 34/105 $

[bastian.0]

Si lo so però sto cercando di capire come svolgerlo con le coordinate polari ma sicuramente quello che hai scritto è più semplice! Vorrei capire solo come farlo per un mio esercizio .. Grazie

[Bokonon]

Ma no! Solo in una circonferenza il raggio resta costante, quindi varia fra un minimo (zero) e un massimo
($sqrt(2)$) ben definiti.

Mentre per $0 Quindi in coordinate polari $rhosin(theta)=rho^2cos^2(theta)$ e semplificando $rho=sin(theta)/cos^2(theta)$

Quindi $0<=rho<=sin(theta)/cos^2(theta)$

[Bokonon]

@pilloeffe
Certo, è così!
Ma il ragazzo vuole imparare ad impostarlo in coordinate polari...anche senza risolverlo.

[bastian.0]

Infatti l'ho buttata un po' a caso perché non sapevo dove aggrapparmi ma sapevo di sbagliare!! Grazie tantissimo! Un' ultima cosa. Quando calcolo ad esempio l'angolo e trovo due disequazioni e una mi riporta tipo sin(teta)< -2 è impossibile giusto? E prendo solo l' altra equazione
Grazie ancora tanto

[Bokonon]

"bastian.0":Infatti l'ho buttata un po' a caso perché non sapevo dove aggrapparmi ma sapevo di sbagliare!! Grazie tantissimo! Un' ultima cosa. Quando calcolo ad esempio l'angolo e trovo due disequazioni e una mi riporta tipo sin(teta)< -2 è impossibile giusto? E prendo solo l' altra equazione
Grazie ancora tanto

La risposta è chiaramente SI, ma...
Ti succedono spesso cose del genere?
Non dovrebbero accaderti, tout court.

Ok in qualche caso l'angolo non è immediato e allora risolvi (prendendo l'esercizio in esame) $r=sin(theta)/cos^2(theta)=0$ e $r=sin(theta)/cos^2(theta)=sqrt(2)$ risolvi per $theta$ ma in generale basta un buon grafico e fai girare la "lancetta" (=un "raggio" che ruota in senso antiorario e lungo ogni direzione si allunga fino a sbattere contro la curva).

[bastian.0]

Quello che hai scritto tra parentesi non l'ho molto capito il resto si grazie ancora tanto! Si ogni tanto mi vengono dubbi ad esempio sin teta<1 a volte mi ritrovo in questi casi con le polari.

[Bokonon]

@bastian.0
Prego.
Ho semplicemente preso ad esempio l'esercizio che stiamo risolvendo per farti vedere come determinare gli angoli...quando non sono evidenti.

Io riassumerei il tutto con "ragiona prima di applicare metodi meccanici".
Abbiamo visto che automaticamente assumi che un volume possa essere calcolato raddoppiando quello calcolato su metà dominio solo perchè il dominio è simmetrico. Errato. Devi visualizzare cosa stai facendo e "vedere" la curva sopra il dominio. Se anche essa è simmetrica nel dominio, allora puoi farlo.

Abbiamo visto che tratti $rho$ come se fosse sempre costante quando dal grafico del dominio è evidente che "incontra" due diversi tipi di curva. Prima $rho$ è variabile poi diventa costante (perchè è circonferenza), il grafico ti dice tutto.

Abbiamo anche visto che commetti un sacco di errori di algebra e/o integrazione...

Concentrati su questi punti e, repetitiva juvant, pensa prima di agire. Alla fin fine integrare involve sempre il medsimo ragionamento e se lo applichi una volta a fondo, poi hai capito tutto.

[bastian.0]

Seguirò i tuoi consigli e grazie ancora tantissimo. Adesso si mi è chiaro il perché.