Integrale doppio
ciao a tutti. Ho un problema con l'integrale doppio
$ int int_(D)^() cosx cosy dx dy $
dove D = ( (x,y) in R^2 | sinx <= y <= x , x [0,pi/2] )
in pratica io nel dominio ho disegnato il grafico della funzione seno e poi ho preso sempre sullo stesso grafico la bisettrice y=x e nell'intervallo si intersecano solo nell'origine.
Quindi prendo la parte di piano tra la retta e il seno (corretto?)
dopo aver scritto l'integrale mi ritrovo una scrittura strana del tipo sin(sinx) (non è sen^2x giusto?)
ho provato a sostituire sinx=t e arcsint=x e dopo mi si complica tanto e non so più cosa fare, provandolo a svolgere per parti. Me lo svolgete e mi spiegate un attimo?
$ int int_(D)^() cosx cosy dx dy $
dove D = ( (x,y) in R^2 | sinx <= y <= x , x [0,pi/2] )
in pratica io nel dominio ho disegnato il grafico della funzione seno e poi ho preso sempre sullo stesso grafico la bisettrice y=x e nell'intervallo si intersecano solo nell'origine.
Quindi prendo la parte di piano tra la retta e il seno (corretto?)
dopo aver scritto l'integrale mi ritrovo una scrittura strana del tipo sin(sinx) (non è sen^2x giusto?)
ho provato a sostituire sinx=t e arcsint=x e dopo mi si complica tanto e non so più cosa fare, provandolo a svolgere per parti. Me lo svolgete e mi spiegate un attimo?
Risposte
"bastian.0":
Quindi prendo la parte di piano tra la retta e il seno (corretto?)
Esatto.
Puoi anche spezzarlo in questo modo:
$int_0^(pi/2) int_0^(x) cos(x)cos(y)dydx - int_0^(pi/2) int_0^(sin(x)) cos(x)cos(y)dydx$
Il primo è immediato $int_0^(pi/2) int_0^(x) cos(x)cos(y)dydx=1/2$
Il secondo richiede una sostituzione $sin(x)=u$
$int_0^(pi/2) int_0^(sin(x)) cos(x)cos(y)dydx=int_0^(pi/2) cos(x)sin(sin(x))dx=1-cos(1)$
Quindi, a meno di errori di calcolo, il risultato è $cos(1)-1/2$
si il risultato è questo grazie mille.
Un'ultima cosa. Quando disegno quel dominio io in genere metto sull'asse x l'andamento del seno e poi la bisettrice. Però non ho capito una cosa. Sull'asse delle ascisse io in genere metto un intervallo tra 0 e 2pi e sulle ordinate invece -1 e 1 però la bisettrice come la interpreto x=y ? cioè faccio corrispondere a y lo stesso valore di x come al solito? Il valore di pi ad esempio sull'asse delle ordinate lo considero come quello delle ascisse quindi lo posizionerei dopo 1 perché pi greco è 3,14, quindi circa tre volte 1 sul grafico?
grazie ancora
Un'ultima cosa. Quando disegno quel dominio io in genere metto sull'asse x l'andamento del seno e poi la bisettrice. Però non ho capito una cosa. Sull'asse delle ascisse io in genere metto un intervallo tra 0 e 2pi e sulle ordinate invece -1 e 1 però la bisettrice come la interpreto x=y ? cioè faccio corrispondere a y lo stesso valore di x come al solito? Il valore di pi ad esempio sull'asse delle ordinate lo considero come quello delle ascisse quindi lo posizionerei dopo 1 perché pi greco è 3,14, quindi circa tre volte 1 sul grafico?
grazie ancora
Prego.
Non ho capito perchè ti complichi la vita. Disegni il grafico di $y=x$ e $y=sen(x)$ limitato fra le rette $x=0$ e $x=pi/2$
Quindi $y=x$ va dall'origine al punto $(pi/2, pi/2)$ e $y=sen(x)$ va dall'origine al punto $(pi/2, 1)$
Non ho capito perchè ti complichi la vita. Disegni il grafico di $y=x$ e $y=sen(x)$ limitato fra le rette $x=0$ e $x=pi/2$
Quindi $y=x$ va dall'origine al punto $(pi/2, pi/2)$ e $y=sen(x)$ va dall'origine al punto $(pi/2, 1)$
Esatto, quello che dico. Quando devo disegnare la retta y=x sull'asse delle y prendo pi greco pari a 3,14 quindi lo posiziono come se fosse un numero maggiore di 1? come qualsiasi numero?
$pi$ E' un numero.
Sarà anche speciale, irrazionale e trascendente ma resta un numero reale come tanti.
Sarà anche speciale, irrazionale e trascendente ma resta un numero reale come tanti.
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