Integrale doppio
Buongiorno, ho il seguente esercizio:
Calcolare \(\displaystyle \iint_D e^{-x^2-y^2} dxdy \) con \(\displaystyle D \) la regione di piano compresa tra l'asse \(\displaystyle x \) e la funzione \(\displaystyle y = \sqrt{R^2 - x^2} \) .
Soluzione:
Si tratta di una semicirconfernza (credo). Passo alle coordinate polari. (\(\displaystyle -\rho \) è il determinante della Jacobiana della trasformazione )
\(\displaystyle \int_0^\pi d\theta \int_0^2 -\rho e^{-\rho^2}d\rho \)
cambio variabile
\(\displaystyle t = - \rho^2 \implies dt = -2\rho d\rho \implies d\rho = \frac{dt}{-2\rho } \)
\(\displaystyle \pi \int_0^{-4} -\rho e^t \frac{dt}{-2\rho} = \frac{\pi}{2} \int_0^{-4} e^t dt = -\frac{\pi}{2}\int_{-4}^{0} e^t dt = -\frac{\pi}{2}(1-e^{-4}) = \frac{\pi}{2}(e^{-4}-1) \)
Purtroppo non ho il risultato finale a disposizione. Vi chiedo, é corretto?
Grazie a chi mi risponderà.
Calcolare \(\displaystyle \iint_D e^{-x^2-y^2} dxdy \) con \(\displaystyle D \) la regione di piano compresa tra l'asse \(\displaystyle x \) e la funzione \(\displaystyle y = \sqrt{R^2 - x^2} \) .
Soluzione:
Si tratta di una semicirconfernza (credo). Passo alle coordinate polari. (\(\displaystyle -\rho \) è il determinante della Jacobiana della trasformazione )
\(\displaystyle \int_0^\pi d\theta \int_0^2 -\rho e^{-\rho^2}d\rho \)
cambio variabile
\(\displaystyle t = - \rho^2 \implies dt = -2\rho d\rho \implies d\rho = \frac{dt}{-2\rho } \)
\(\displaystyle \pi \int_0^{-4} -\rho e^t \frac{dt}{-2\rho} = \frac{\pi}{2} \int_0^{-4} e^t dt = -\frac{\pi}{2}\int_{-4}^{0} e^t dt = -\frac{\pi}{2}(1-e^{-4}) = \frac{\pi}{2}(e^{-4}-1) \)
Purtroppo non ho il risultato finale a disposizione. Vi chiedo, é corretto?
Grazie a chi mi risponderà.
Risposte
Ciao!
prova a ragionare un attimo sul risultato mettendoti in rilievo le seguenti cose;
- una funzione ovunque positiva $f(x,y)=e^(-x^2-y^2)$
- un integrale: come si comporta l'integrale di una funzione positiva?
- un risultato negativo
prova a ragionare un attimo sul risultato mettendoti in rilievo le seguenti cose;
- una funzione ovunque positiva $f(x,y)=e^(-x^2-y^2)$
- un integrale: come si comporta l'integrale di una funzione positiva?
- un risultato negativo
Ciao, si hai ragione, in quanto volume di una funzione sempre positiva, il volume sarà senza dubbio positivo. Ragionandoci, l'errore credo sia proprio nel determinante della matrice Jacobiana della trasformazione.
\(\displaystyle |T| = \begin{vmatrix}cos\theta & -\rho sin\theta \\ sin\theta & \rho cos\theta\end{vmatrix} = \rho (cos^2\theta + sin^2\theta) = \rho \)
allora risparmiando i passaggi che sono identici a sopra ad eccezione del segno...
\(\displaystyle \int_{0}^{R} \rho e^{-\rho^2} = \frac{\pi}{2}(1-e^{-R^2}) \)
aggiungo: nel post iniziale compariva un \(\displaystyle 4 \), il testo corretto è \(\displaystyle y = \sqrt{4-x^2} \), quindi:
\(\displaystyle y = \sqrt{4-x^2} \implies x^2+y^2=4 \implies R = 2 \) allora per concludere
\(\displaystyle \pi\int_{0}^{2} \rho e^{-\rho^2} = \frac{\pi}{2}(1-e^{-4}) > 0\)
anto_zoolander corretto?
\(\displaystyle |T| = \begin{vmatrix}cos\theta & -\rho sin\theta \\ sin\theta & \rho cos\theta\end{vmatrix} = \rho (cos^2\theta + sin^2\theta) = \rho \)
allora risparmiando i passaggi che sono identici a sopra ad eccezione del segno...
\(\displaystyle \int_{0}^{R} \rho e^{-\rho^2} = \frac{\pi}{2}(1-e^{-R^2}) \)
aggiungo: nel post iniziale compariva un \(\displaystyle 4 \), il testo corretto è \(\displaystyle y = \sqrt{4-x^2} \), quindi:
\(\displaystyle y = \sqrt{4-x^2} \implies x^2+y^2=4 \implies R = 2 \) allora per concludere
\(\displaystyle \pi\int_{0}^{2} \rho e^{-\rho^2} = \frac{\pi}{2}(1-e^{-4}) > 0\)
anto_zoolander corretto?
Bravo 
Riconoscere i propri errori è il primo passo verso il 18
Riconoscere i propri errori è il primo passo verso il 18
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo