Integrale doppio

[lepre561]

$int int 2xdxdy $ $d:{(x,y) in RR^2 x<=0,y>=-x, x^2+y^2<=4}$

allora se passassi a coordinate polari avrei ${0<=rho<=2; pi/2<=theta<=3/4pi}$

se considerassi il dominio normale rispetto a x ${-sqrt2<=x<=0; -x<=y<=sqrt(4-x^2)}$

ma il mio problema è come dovrei farlo per renderlo normale rispetto a $y$

cioè avrei $0<=y<=2$ ma la x?

[pilloeffe]

Ciao lepre561,

"lepre561":il mio problema è come dovrei farlo per renderlo normale rispetto a $y $ [...] ?

Non capisco molto perché lo vuoi considerare normale rispetto a $y $ visto che con gli altri due metodi che hai citato riusciresti comunque a risolvere agevolmente l'integrale proposto, ma comunque se proprio insisti il consiglio è sempre quello che ti è già stato dato altre volte, cioè fai un bel disegno di

$D := {(x,y) \in RR^2 : x <= 0, y >= -x, x^2+y^2 <= 4} $

[lepre561]

Si l'ho fatto ma non riesco a capire come oscilla la x cioè mi vengono gli stessi valori che ho usato per quando è normale rispetto a x ma sostituendo con la y

[Bokonon]

@Lepre
Nei due casi che hai correttamente esposto, avresti un solo integrale.
Uno in $drd theta$ e l'altro in $dydx$
Nel terzo caso, dovresti spezzare il dominio tracciando una retta $y=sqrt(2)$. Perchè?
Perchè devi sempre far variare il tutto fra due curve...mai più di 2.
Quindi vengono due integrali in $dxdy$
Il primo con dominio $0 Il secondo con dominio $sqrt(2)

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[pilloeffe]

Infatti ha ragione Bokonon: la terza strada che hai proposto (dominio normale rispetto a $y $) è sì praticabile, ma non così conveniente come le altre due...
Facendo uso delle coordinate polari si trova quasi immediatamente il risultato:

$\int_0^2 2\rho^2 \int_{\pi/2}^{3\pi/4} cos\theta \text{d}\theta \text{d}\rho = 2 \int_0^2 \rho^2 [sin\theta]_{\pi/2}^{3\pi/4} \text{d}\rho = (\sqrt{2} - 2) [\rho^3/3]_0^2 = 8/3 (\sqrt{2} - 2) $

Restando in coordinate cartesiane con dominio normale rispetto a $x $ invece occorre qualche passaggio in più (ma niente di che...) per ottenere il medesimo risultato:

$ \int_{-\sqrt{2}}^0 2x \int_{- x}^{\sqrt{4 - x^2}} \text{d}y \text{d}x = \int_{-\sqrt{2}}^0 2x (\sqrt{4 - x^2} + x) \text{d}x = \int_{-\sqrt{2}}^0 2x\sqrt{4 - x^2}\text{d}x +\int_{-\sqrt{2}}^0 2x^2 \text{d}x = $
$ = -\int_{-\sqrt{2}}^0 -2x\sqrt{4 - x^2}\text{d}x + [2x^3/3]_{-\sqrt{2}}^0 = - 2/3 [(4 -x^2)^{3/2}]_{-\sqrt{2}}^0 + 4\sqrt{2}/3 = $
$ = - 16/3 + 4\sqrt{2}/3 + 4\sqrt{2}/3 = 8/3 (\sqrt{2} - 2) $

Seguendo i suggerimenti che ti ha già dato Bokonon, ora prova tu a verificare che in coordinate cartesiane con dominio normale rispetto a $y $ si ottiene lo stesso risultato...

[lepre561]

"Bokonon":@Lepre
Nei due casi che hai correttamente esposto, avresti un solo integrale.
Uno in $drd theta$ e l'altro in $dydx$
Nel terzo caso, dovresti spezzare il dominio tracciando una retta $y=sqrt(2)$. Perchè?
Perchè devi sempre far variare il tutto fra due curve...mai più di 2.
Quindi vengono due integrali in $dxdy$
Il primo con dominio $0 Il secondo con dominio $sqrt(2)


chiedo scusa ma le rette su cui varierebbe x quali sono?

[Bokonon]

Lepre, l'ho scritto.
Per $0 Per $sqrt(2)

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