Integrale doppio
Salve avrei delle difficoltà a risolvere il seguente integrale
$int int x(y-2)dxdy$ dove $D={x,yinRR^2: (x-2)^2+y^2<=4 , y>=x-2}$
per la rappresentazione del dominio non ho avuto difficoltà in quanto è una semicirconferenza che si trova nel primo e quarto quadrante...
il mio problema è continuare...
avevo pensato inizialmente di passare a coordinate polari però non mi conduce a nessuna parte perchè non mi riesco a determinare gli estremi di integrazione...
ho anche provato ad intersecare le due curve ma trovarmi gli intervalli in x e y ma anche questo con fallimento...
qualche spunto?
$int int x(y-2)dxdy$ dove $D={x,yinRR^2: (x-2)^2+y^2<=4 , y>=x-2}$
per la rappresentazione del dominio non ho avuto difficoltà in quanto è una semicirconferenza che si trova nel primo e quarto quadrante...
il mio problema è continuare...
avevo pensato inizialmente di passare a coordinate polari però non mi conduce a nessuna parte perchè non mi riesco a determinare gli estremi di integrazione...
ho anche provato ad intersecare le due curve ma trovarmi gli intervalli in x e y ma anche questo con fallimento...
qualche spunto?
Risposte
Certo che se usi le polari centrate nell’origine non vai da nessuna parte…
Fai un disegno e regolati di conseguenza.
Fai un disegno e regolati di conseguenza.
provo a scrivere gli estremi che mi sono venuti
per quanto riguarda $rho$ ho sostituito nell'equazione della circonferenza...$rho^2<=4$ e quindi $0<=rho<=2$
per $theta$ sostituendo nell'equazione della retta mi è venuto $sintheta>=costheta$
e quindi $pi/4<=theta<=5/4pi$
possibile come cosa?
per quanto riguarda $rho$ ho sostituito nell'equazione della circonferenza...$rho^2<=4$ e quindi $0<=rho<=2$
per $theta$ sostituendo nell'equazione della retta mi è venuto $sintheta>=costheta$
e quindi $pi/4<=theta<=5/4pi$
possibile come cosa?
Non fare conti.
Guarda il disegno: ti pare possibile?
Guarda il disegno: ti pare possibile?
mi sembra abbastanza fattibile sbaglio?
Dipende da dove hai piazzato il polo.
Se non lo specifichi io non posso dirti nulla.
Quindi due sono le strade: o ti guardi il disegno e ti rispondi da solo, oppure fornisci tutte le informazioni che servono per capire tu cosa stia facendo.
Se non lo specifichi io non posso dirti nulla.
Quindi due sono le strade: o ti guardi il disegno e ti rispondi da solo, oppure fornisci tutte le informazioni che servono per capire tu cosa stia facendo.
ho una circonferenza centrata in $(2,0)$ tagliata dalla retta $y=2-x$ passante per il centro della circonferenza e taglia in due quest'ultima
che informazioni devo aggiungere?
che informazioni devo aggiungere?
La retta non era $y=x-2$?
Il polo delle coordinate polari (sai cos’è?) dove l’hai piazzato?
Il polo delle coordinate polari (sai cos’è?) dove l’hai piazzato?
le coordinate polari non le ho messe al centro...${(x=rhocostheta+2),(y=rhosintheta):}$
e per la retta si mi sono confuso...
e per la retta si mi sono confuso...
"Al centro" di cosa?
Esistono termini precisi per indicare le cose. Usali.
Esistono termini precisi per indicare le cose. Usali.
Il consiglio è sempre quello...rifletti prima di agire.
Se trasli tutto applicando la trasformazione $x^{\prime}=x-2$ il problema diventa:
$int int (x^{\prime}+2)(y-2)dxdy$ dove $D={x,yinRR^2: (x^{\prime})^2+y^2<=4 , y>=x^{\prime}}$
Se trasli tutto applicando la trasformazione $x^{\prime}=x-2$ il problema diventa:
$int int (x^{\prime}+2)(y-2)dxdy$ dove $D={x,yinRR^2: (x^{\prime})^2+y^2<=4 , y>=x^{\prime}}$
ma infatti non mi sembrava di semplificare le cose...però ho accettato il consiglio e ho traslato...
non ci sto capendo più nulla...
non ci sto capendo più nulla...
Mammamia…
L’esercizio è di una banalità disarmante.
Il dominio di integrazione è costituito da un semicerchio chiuso di centro $(2,0)$ e raggio $2$, che poggia sul diametro di estremi $(2 +- sqrt(2), +- sqrt(2))$ ed è situato nel semipiano al di sopra della retta di equazione $y=x-2$.
Data la geometria del dominio, conviene passare in coordinate polari con polo nel centro del semicerchio, i.e. usare:
\[
\begin{cases}
x = 2 + r \cos \theta \\
y = r \sin \theta
\end{cases}
\]
in cui $0<= r <= 2$ e $pi/4 <= theta <= 5/4 pi$ per le caratteristiche geometriche del dominio.
Ne viene:
\[
\begin{split}
\iint_D x (y - 2)\ \text{d} x \text{d} y &= \int_0^2 \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (2 + r \cos \theta)(r \sin \theta - 2) r\ \text{d} r \text{d} \theta \\
&= \int_0^2 \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (r^3 \frac{1}{2}\ \sin 2\theta + 2\sqrt{2} r^2 \sin( \theta - \pi/4) - 4r)\ \text{d} r \text{d} \theta\; ;
\end{split}
\]
il primo addendo dell’ultima integranda non dà contributo, perché integrato su un periodo, il secondo addendo dà contributo:
\[
\int_0^\pi 2 \sqrt{2} r^2 \sin \theta\ \text{d}\theta = 4\sqrt{2} r^2
\]
ed il terzo addendo dà contributo $-4pi r$ all’integrale in $r$.
L’integrale esterno è quello di un polinomio e si calcola in maniera immediata.
Il risultato è $32/3 sqrt(2) - 8 pi$.
L’esercizio è di una banalità disarmante.
Il dominio di integrazione è costituito da un semicerchio chiuso di centro $(2,0)$ e raggio $2$, che poggia sul diametro di estremi $(2 +- sqrt(2), +- sqrt(2))$ ed è situato nel semipiano al di sopra della retta di equazione $y=x-2$.
Data la geometria del dominio, conviene passare in coordinate polari con polo nel centro del semicerchio, i.e. usare:
\[
\begin{cases}
x = 2 + r \cos \theta \\
y = r \sin \theta
\end{cases}
\]
in cui $0<= r <= 2$ e $pi/4 <= theta <= 5/4 pi$ per le caratteristiche geometriche del dominio.
Ne viene:
\[
\begin{split}
\iint_D x (y - 2)\ \text{d} x \text{d} y &= \int_0^2 \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (2 + r \cos \theta)(r \sin \theta - 2) r\ \text{d} r \text{d} \theta \\
&= \int_0^2 \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (r^3 \frac{1}{2}\ \sin 2\theta + 2\sqrt{2} r^2 \sin( \theta - \pi/4) - 4r)\ \text{d} r \text{d} \theta\; ;
\end{split}
\]
il primo addendo dell’ultima integranda non dà contributo, perché integrato su un periodo, il secondo addendo dà contributo:
\[
\int_0^\pi 2 \sqrt{2} r^2 \sin \theta\ \text{d}\theta = 4\sqrt{2} r^2
\]
ed il terzo addendo dà contributo $-4pi r$ all’integrale in $r$.
L’integrale esterno è quello di un polinomio e si calcola in maniera immediata.
Il risultato è $32/3 sqrt(2) - 8 pi$.
Nemmeno adesso?
$0<=r<=2$ e $pi/4<=alpha<=5/4pi$
e sostituisci $x=rcos(alpha)$ e $y=rsin(alpha)$
$int_(pi/4)^(5/4pi) int_0^2 (rcos(alpha)+2)(rsin(alpha)-2)rdrdalpha$
$0<=r<=2$ e $pi/4<=alpha<=5/4pi$
e sostituisci $x=rcos(alpha)$ e $y=rsin(alpha)$
$int_(pi/4)^(5/4pi) int_0^2 (rcos(alpha)+2)(rsin(alpha)-2)rdrdalpha$
grazie mille per le risposte molto esaudienti...per evitare di rompervi in futuro...anche se qualcosa sicuramente vi tornerò a chiedere...ma per controllare il risultato del mio integrale come devo scrivere cioè l'integrale in se è facile da scrivere ma il dominio come gli faccio a far capire a wolfram in che dominio mi trovo?
Ciao lepre561,
Non mi risulta si riesca a fare. Però, una volta noti gli estremi di integrazione, si può scrivere così:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(2+%2B+rcost)(rsint+-+2)+rdr+dt,+r%3D0..2,+t%3Dpi%2F4..5*pi%2F4
e trovi lo stesso risultato che ti ha già scritto gugo82.
"lepre561":
per controllare il risultato del mio integrale come devo scrivere cioè l'integrale in se è facile da scrivere ma il dominio come gli faccio a far capire a wolfram in che dominio mi trovo?
Non mi risulta si riesca a fare. Però, una volta noti gli estremi di integrazione, si può scrivere così:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(2+%2B+rcost)(rsint+-+2)+rdr+dt,+r%3D0..2,+t%3Dpi%2F4..5*pi%2F4
e trovi lo stesso risultato che ti ha già scritto gugo82.
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