Integrale doppio

[floyd1231]

Salve a tutti, potreste darmi una mano con questo integrale doppio?
$ int int x(y-1) dx dy, (x-1)^2+y^2<=1, y>=x-1 $
Vorrei passare a coordinate polari.
$ rho $ varia tra $ 0 $ e $ 1 $, mentre $ theta $ non riesco ad individuarlo.

[Ernesto011]

Hai provato a fare prima un cambio di variabili del tipo $x'=x-1$ e $y'=y$?

[floyd1231]

A dire la verità non abbiamo mai parlato di cambio di variabili di questo tipo in classe, come si procede dunque?

[21zuclo]

il problema è che se anche mettiamo a posto il dominio sia con il cambiamento di variabili e sia con le coordinate polari traslate

rimane la funzione integranda, mi sta creando problemi quel $x(y-1)$

perchè io opterei, guardando il dominio per queste coordinate polari $ { ( x=1+\rho\cos\theta ),( y=\rho sin\theta ):} $

il problema è che quando sostituisci tutto nella funzione integranda è un po' un casino..

[floyd1231]

Grazie per la risposta 21zuclo, in effetti è strano.

[21zuclo]

mi è venuta un'idea, proviamo a NON utilizzare le coordinate polari, allora faccio prima a scrivere la mia idea

prendiamo il dominio
$ A=\{(x,y)\in RR^2| (x-1)^2+y^2\leq 1, y\geq x-1 \}\ $

una condizione sulla $y$ l'abbiamo già, e cioè $ y\geq x-1 $

ok, ora proviamo ad esplicitare la $y$ da $(x-1)^2+y^2\leq 1$

ci ritroviamo $ -\sqrt(1-(x-1)^2)\leq y \leq \sqrt(1-(x-1)^2) $

ma visto che avevamo già la prima condizione sulla $y$,
si ricava che $ x-1\leq y \leq \sqrt(1-(x-1)^2) $

ora però ci manca la variabile $x$ ricaviamo da questa condizione $1-(x-1)^2\geq 0$
(è l'argomento della radice quadrata, deve essere maggiore di zero)

facilmente ci troviamo che $ 0\leq x \leq 2 $

ed eccoci qua
$ \int_(0)^(2)dx (\int_(x-1)^(\sqrt(1-(x-1)^2))x(y-1)dy) $

mettiamo a posto meglio

$ \int_(0)^(2)xdx (\int_(x-1)^(\sqrt(1-(x-1)^2))y-1dy) $

lascio a te i calcoli

[floyd1231]

Capito! Grazie infinite