Integrale Doppio

[MrEngineer]

Salve,ho un problema con il seguente integrale doppio:
$\int sqrt(x^2+y^2)$ calcolato in $T$,dove $T={(x,y) in R^2 : x<=x^2+y^2<=2x}$.
Ho disegnato il dominio (sono due circonferenze). Credo che sia necessario il passaggio in coordinate polari. Ma questo passaggio non mi è chiaro. E' sempre possibile utilizzare le coordinate della circonferenza con polo nell'origine? e soprattutto quali saranno i valori di $\theta$ in questo caso?

Edit: questo è il dominio



Edit 2: nel frattempo continuo a riflettere e rimurginare,il raggio $\rho$ è per definizione $\rho >=0$ dunque forse dovrei prendere solo la parte di circonferenza che si trova nel primo quadrante?

[Ziben]

Ciao,
guardando il disegno, secondo me si ha: $-pi/2\leq \theta \leq pi/2$. Con $cos\theta \leq \rho \leq 2cos\theta$ ma a questo già ci sei. Sai qual è il risultato?

[MrEngineer]

No Ziben,purtroppo no. E' un esercizio tratto da un testo d'esame. Puoi usare i tool di wolfram per confrontare il risultato una volta trovati i corretti valori di rho e theta. Mi sapresti spiegare come hai ricavato codesti angoli?

[Ziben]

Perché la figura sta nel 4° e nel 1° quadrante e dal passaggio in coordinate polari non escono limitazioni esplicite al valore dell'angolo.

[MrEngineer]

Il valore del $\rho$ posso dirti che è corretto,l'ho calcolato sostituendo alle equazioni delle due circonferenze i valori di x e y espressi in coordinate polari e mi viene la tua stessa soluzione per il $\rho$. In effetti hai ragione,non c'è alcun vincolo che ci dica quale porzione di circonferenza prendere dato che nel dominio T non è indicato. Provo a calcolare l'integrale e ti faccio sapere. Tu l'hai già calcolato?

[Ziben]

si, a me viene $28/9$ ma adesso ricontrollo perché ho fatto i conti in fretta

[MrEngineer]

ci sono quasi.. piccola domanda,nello svolgere l'esercizio ti è per caso spuntato un integrale indefinito di $cos^3(\theta)$ che tramite varie trasformazioni va risolto come $[sin(\theta)-sin^3(\theta)/3]$? Cmq anche wolfram mi dà 28/9

[Ziben]

si:
$7/3 int_(-pi/2)^(pi/2) cos^3(\theta) d\theta $

che risolvo come hai detto tu. Grazie della conferma del calcolo

[MrEngineer]

"Ziben":si:
$7/3 int_(-pi/2)^(pi/2) cos^3(\theta) d\theta $

che risolvo come hai detto tu. Grazie della conferma del calcolo

E' riuscito anche a me. $28/9$. Perfetto. E' riuscito! Sei stato super gentile,grazie mille!

[Ziben]

Di nulla, figurati.

[MrEngineer]

esame di analisi giorno 26 aprile. Troppa paura ahahahah

[Ziben]

Allora in bocca al lupo!!!

[MrEngineer]

"Ziben":Allora in bocca al lupo!!!

Grazie mille Ziben!! Riprendo il topic per proporre un nuovo piccolo dubbio(più che dubbio,in verità è una conferma).
Mi trovo davanti a un integrale doppio di questo tipo: $\int\int log(xy)$ da calcolare in $T$, dove $T={(x,y) in R^2 : -1<=x<=-1/2; 4x^2>=xy>=1}$. Se ho ben colto "l'inganno" da parte del professore,il dominio è quello di un integrale normale rispetto ad x,tant'è che con banali semplificazioni diventa $T={(x,y) in R^2 : -1<=x<=-1/2; 1/x<=y<=4x}$. Ho detto bene?

[Ziben]

Si, poiché $-1\leq x \leq -1/2$ , sai che $x \ne 0$ e puoi dividere per $x$ senza problemi

[MrEngineer]

Perfetto! Svelata la magagna ehehehehe questi matematici "scherzosi"!! Wolfram mi ha confermato il risultato che avevo già ottenuto: $3+log(1/32)$ che può essere riscritto come $3-log(32)$. Grazie Ziben!!

[Ziben]

Prego