Integrale Doppio

[gabryelecristianmorgante]

Buonasera ragazzi, avrei bisogno del vostro aiuto su questo esercizio che non riesco a capire...

Calcolare l’integrale doppio:

$\int int{A} sqrt((a^2-x^2-y^2)) dxdy $


Dove A (La A va nel secondo integrale in basso ma non so come scriverlo...) è il semicerchio di raggio r e centro nell’origine, situato nel semipiano delle ordinate positive.

Grazie in anticipo per l'aiuto!

[Lo_zio_Tom]

devi passare in coordinate polari...dopodiché diventa tutto molto semplice

[gabryelecristianmorgante]

Ho già provato ma non riesco a capire dove sbaglio... Vorrei capire step by step.

[Lo_zio_Tom]

benissimo! allora posta tutti gli step che hai fatto e vediamo dove è l'errore...anche se mi sembra strano perché una volta passato in polari l'integrale risultante è praticamente immediato

[gabryelecristianmorgante]

Ok! L'impostazione dell'integrale doppio tramite coordinate polari diventa:

$\int_{0}^{r} ( \int_{0}^{pi} sqrt(a^2-p^2cos^2\theta-p^2sen^2\theta) d\theta) dp $

Risolvo e trovo:

$\int sqrt(a^2-p^2) dp $

A questo punto risolvo il tutto con la sostituzione di:
$p=asen\alpha $ e $ dp=acos\alpha $

Quindi:
$ sqrt(a^2-a^2sen^2\alpha)=acos\alpha$

E tutto questo integrale viene in questo modo:
$\int 1/2 p sqrt(a^2-p^2)+1/2a^2* 1/(sen(p/a)) $

Infine wolfram mi dice che tutto questo è sbagliato e viene effettivamente così:

$1\/2 (x sqrt(a^2 - x^2 - y^2) + a^2 tan^(-1)(x\/sqrt(a^2 - x^2 - y^2)) - y^2 tan^(-1)(x\/sqrt(a^2 - x^2 - y^2))) + c $

Cosa sbaglio? E soprattutto, tutto ciò che ho fatto, compreso l'intervallo, è corretto? Grazie.