Integrale doppio

[Rebdiluca]

Ciao, ho a che fare con il seguente esercizio:



Il dominio di integrazione si evince dalla successiva immagine...



In coordinate polari, trovo che $ 0<=vartheta<=pi/4 $ e $ sqrt2<=rho<=2/(sin(vartheta)+cos(vartheta)) $. Dunque il dominio di integrazione diventa un rettangolo. In particolare:

$ int_(0)^(pi/4) dvartheta int_(sqrt2)^(2/(sinvartheta+cosvartheta)) drho = int_(0)^(pi/4)[2/(sinvartheta+cosvartheta)-sqrt2] dvartheta $

Ora non resta che svolgere l'integrale:

$ int_()^() 1/(sinvartheta+cosvartheta) dvartheta = -2int_()^() 1/(t^2-2t-1) dt $, dopo aver posto $ t=tan(vartheta/2) $. Con i fratti semplici ottengo:
$ -2int_()^() 1/(t^2-2t-1) dt = -1/sqrt2 log|(t-1-sqrt2)/(t-1+sqrt2)|=-1/sqrt2 log|(tan(vartheta/2)-1-sqrt2)/(tan(vartheta/2)-1+sqrt2)| $

Mi date conferma che è svolto correttamente e che mi basta semplicemente sostituire gli estremi di integrazione? Grazie!

[Rebdiluca]

Grazie per la risposta!

"Robert96":Dunque il dominio di integrazione diventa un rettangolo.



"TeM": Sicuro?!

Hai ragione, qui mi sono lasciato ingannare da come variava $ vartheta $. Giusto per completezza, riporto qui i calcoli:

$ int_(0)^(pi/4) 2/(sin(vartheta)+cos(vartheta)) dvartheta - sqrt(2)pi/(4) = -1/sqrt2[log|(-2)/(2sqrt2-2)|-log|(-1-sqrt2)/(-1+sqrt2)|] -sqrt2 pi/(4) = - sqrt(2)[log|1/(sqrt2+1)|+pi/4] = 0,135... $