Integrale doppio
Salve ho problemi a risolvere questo integrale
\(\displaystyle\lmoustache\lmoustache x^2-y^2 dxdy \) in \(\displaystyle D=\{(x,y)\in\Re^2\|x^2+y^2-2x\leq0 ; y\leq0\} \)
mi sono trovato il dominio D che sarebbe mezza circonferenza nel quarto qradrante centrata in \(\displaystyle (1;0) \) e di raggio=1
poi ho convertito \(\displaystyle x=p\cos\Theta \) e \(\displaystyle y=p\sin\Theta \) da qui in poi non ho capito bene come posso procedere.
I miei dubbi maggiori sono come si costruisce la nuova D in coordinate polari e soprattutto come si disegna in un diagramma cartesiano, e poi non ho capito la costruzione dello jacobiano come si fa esattamente, ho letto la formula ma non riesco a comprenderla completamente.
Grzie in anticipo
\(\displaystyle\lmoustache\lmoustache x^2-y^2 dxdy \) in \(\displaystyle D=\{(x,y)\in\Re^2\|x^2+y^2-2x\leq0 ; y\leq0\} \)
mi sono trovato il dominio D che sarebbe mezza circonferenza nel quarto qradrante centrata in \(\displaystyle (1;0) \) e di raggio=1
poi ho convertito \(\displaystyle x=p\cos\Theta \) e \(\displaystyle y=p\sin\Theta \) da qui in poi non ho capito bene come posso procedere.
I miei dubbi maggiori sono come si costruisce la nuova D in coordinate polari e soprattutto come si disegna in un diagramma cartesiano, e poi non ho capito la costruzione dello jacobiano come si fa esattamente, ho letto la formula ma non riesco a comprenderla completamente.
Grzie in anticipo
Risposte
per calcolare lo jacobiano (che nel passaggio da coordinate cartesiane a polari viene sempre $rho$) basta fare il determinante della matrice delle derivate parziali
$[ ( (partial x)/(partial rho) , (partial x)/(partial theta) ),( (partial y)/(partial rho) , (partial y)/(partial theta) ) ] =[ ( cos theta , -rho sen theta ),( sen theta , rho cos theta) ] =rho cos^2 theta+rhosen^2theta=rho$
per la soluzione dell'integrale è sufficiente sostituire nel dominio le nuove variabili e modificare l'integrale di conseguenza
per costruire il nuovo dominio in coordinate polari basta sostituire le nuove variabili tenendo conto di tutte le disequazioni:
${{: ( x^2+y^2-2x<0 ),( y<0 ) :}rarr{{: ( rho^2cos^2theta+rho^2sen^2theta-2 rho costheta<0 ),( rhosentheta<0 ) :}$
${{: ( rho^2-2 rho costheta<0 ),( rhosentheta<0 ) :}rarr{{: ( rho(rho-2costheta)<0 ),( sentheta<0 ),( costheta>0 ) :}rarr{{: ( 0
e quindi riscrivi l'integrale con le nuove variabili, non dimenticando di aggiungere anche lo jacobiano
$int_(0)^(2costheta)int_(3/2pi)^(2pi)(rho^2cos^2theta-rho^2sen^2theta)rho d rho d theta$
da qui dovrebbe essere facile
$[ ( (partial x)/(partial rho) , (partial x)/(partial theta) ),( (partial y)/(partial rho) , (partial y)/(partial theta) ) ] =[ ( cos theta , -rho sen theta ),( sen theta , rho cos theta) ] =rho cos^2 theta+rhosen^2theta=rho$
per la soluzione dell'integrale è sufficiente sostituire nel dominio le nuove variabili e modificare l'integrale di conseguenza
per costruire il nuovo dominio in coordinate polari basta sostituire le nuove variabili tenendo conto di tutte le disequazioni:
${{: ( x^2+y^2-2x<0 ),( y<0 ) :}rarr{{: ( rho^2cos^2theta+rho^2sen^2theta-2 rho costheta<0 ),( rhosentheta<0 ) :}$
${{: ( rho^2-2 rho costheta<0 ),( rhosentheta<0 ) :}rarr{{: ( rho(rho-2costheta)<0 ),( sentheta<0 ),( costheta>0 ) :}rarr{{: ( 0
e quindi riscrivi l'integrale con le nuove variabili, non dimenticando di aggiungere anche lo jacobiano
$int_(0)^(2costheta)int_(3/2pi)^(2pi)(rho^2cos^2theta-rho^2sen^2theta)rho d rho d theta$
da qui dovrebbe essere facile
Grazie tommik sei stato molto chiaro, gli unici altri dubbi che ho sono, dopo che hai trovato il nuovo dominio in coordinate polari se volessi rappresentarlo in un grafico che cosa dovrei fare? e poi non capisco lo jacobiano in che modo viene utilizzato nell'integrale
nel senso in generale a cosa serve di preciso lo jacobbiano?. In questo esercizio non potevo fare a meno di calcolarlo?
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