Integrale doppio

[andrelan]

Ragazzi vi scrivo lo svolgimento di questo integrale doppio di cui ho tutto chiaro tranne che per un passaggio. Scrivo i miei dubbi durante lo svoglimento

Consideriamo l'integrale:

$\int_{A} sqrt( x^2+y^2) dx dy$

dove $A={(x,y) in RR^2 : x^2+y^2-4x<0}$

SVOLGIMENTO

Il disegno è una circonferenza di raggio $r=2$ e centro $C(2,0)$.
Passiamo in coordinate polari nel piano. Poniamo quindi:

$\phi=\{(x=p*cos(Theta)),(y=p*sin(Theta)):}$ con $p>=0$, $-pi<=Theta<=pi$ (Perchè? Perchè non $0<=Theta<=2pi$?)

Sostituisco le coordinate polari in $ x^2+y^2-4x<0$ ottenendo $0 Allora $(x,y) in A$ $\Leftarrow$$\Rightarrow$ $\{(0
Quindi si ha che $\A=phi(A')$, dove
$\A'={(p,Theta)inRR^2: 0 Con ciò ho i due intervalli di integrazione. Sostituisco le coordinate polari nell'integrale di partenza e applico la formula di riduzione per le coordinate polari:

$\int_{A'} p*f(p,Theta) dp dTheta = int_{-2\pi}^{2\pi}int_{0}^{4*cosTheta}(p^2) dp dTheta = 256/9$

Spero che lo svogimento sia chiaro anche se non ci sono i disegni. Ho cercato di spiegare i miei dubbi durante lo svolgimento. In pratica il mio dubbio e sul calcolo dell'intervallo di $Theta$ e vi sarei un sacco grato se qualcuno riesce a spiegarmi come calcolarlo (ovviamente quando non è intuibile dal disegno). Grazie in anticipo

[Lo_zio_Tom]

"andrelan":
Allora $(x,y) in A$ $\Leftarrow$$\Rightarrow$ $\{(0

Ciao Andrelan..ah fatto così:

sostituendo in coordinate polari, il dominio diventa

$rho(rho-4costheta)<0$

che significa

$(rho-4costheta)<0$

Ora, se ci fai caso, questa disequazione ha senso solo se $costheta>0$, da cui $-pi/2
...ed evidentemente $0
chiaro?

[Lo_zio_Tom]

"andrelan":

$\phi=\{(x=p*cos(Theta)),(y=p*sin(Theta)):}$ con $p>=0$, $-pi<=Theta<=pi$ (Perchè? Perchè non $0<=Theta<=2pi$?)

è lo stesso

[Wilde1]

Sono arrivato tardi...ma ormai lo invio lo stesso.
Scrivo il teorema che si utilizza:

Siano $G_1$ e $G_2$ due aperti di $RR^n$, $T:G_1 \to G_2$ una funzione bigettiva, derivabile (secondo Frechet), con $T^(-1)$ continua e sia $f$ funzione a valori reali integrabile secondo Lebesgue su $G_2$.
Allora si ha :
$ \int_{G_2} fd \mu = \int_{G_1} (f \quad \mathcal{o} \quadT) \quad|det(T^1)| d\mu$
(con $T^1$ la matrice Jacobiana)

[andrelan]

"tommik":[quote="andrelan"]

$\phi=\{(x=p*cos(Theta)),(y=p*sin(Theta)):}$ con $p>=0$, $-pi<=Theta<=pi$ (Perchè? Perchè non $0<=Theta<=2pi$?)

è lo stesso[/quote]

Oddio che scemo che sono ahahahah

[andrelan]

"tommik":[quote="andrelan"]
Allora $(x,y) in A$ $\Leftarrow$$\Rightarrow$ $\{(0

Ciao Andrelan..ah fatto così:

sostituendo in coordinate polari, il dominio diventa

$rho(rho-4costheta)<0$

che significa

$(rho-4costheta)<0$

Ora, se ci fai caso, questa disequazione ha senso solo se $costheta>0$, da cui $-pi/2
...ed evidentemente $0
chiaro? [/quote]
Più o meno mi è chiaro
Dove hai sostituito in coordinate polari? Da dove viene $rho(rho-4costheta)<0$?

[Lo_zio_Tom]

Avevi detto di aver capito.

$ x^2+y^2-4x <0$

Diventa

$ rho^2-4rho costheta <0$

[Lo_zio_Tom]

Raccogli $ rho $ e ottieni

$ rho -4 costheta <0$

(Dato che $ rho> 0$)

Ora, se $ costheta <0$ la disequazione non è mai verificata. Quindi deve essere $ costheta> 0$

$ costheta> 0$ quando $-pi/2

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[andrelan]

"tommik":Raccogli $ rho $ e ottieni

$ rho -4 costheta <0$

(Dato che $ rho> 0$)

Ora, se $ costheta <0$ la disequazione non è mai verificata. Quindi deve essere $ costheta> 0$

$ costheta> 0$ quando $-pi/2
grazieeeeeeeeeeeeeeeeeee