INtegrale doppio
Ecco a voi miei cari compagni (se mi permettete di chiamarvi così), ho questo integrla doppio:
$intint_D|y-x|dxdy$ con dominio $d{(x,y)cR^2, x^2/4+y^2>=1,x^2+y^2<=9}$
ecco sembra facile ma non lo è almeno per me.... c'è una circonferenza e un ellissi...... conviene portarlo in coodinate polari....
il grafico e questo ditemi se ho sbagliato...
io ho fatto così
$int_2^3int_(pi/4)^((5pi)/4) y-xdydx+int_2^3int_((5pi)/4)^(pi/4) -y+xdydx$
sbaglio!?!?!?
$intint_D|y-x|dxdy$ con dominio $d{(x,y)cR^2, x^2/4+y^2>=1,x^2+y^2<=9}$
ecco sembra facile ma non lo è almeno per me.... c'è una circonferenza e un ellissi...... conviene portarlo in coodinate polari....
il grafico e questo ditemi se ho sbagliato...
io ho fatto così
$int_2^3int_(pi/4)^((5pi)/4) y-xdydx+int_2^3int_((5pi)/4)^(pi/4) -y+xdydx$
sbaglio!?!?!?
Risposte
"guardiax":
io ho fatto così
$int_2^3int_(pi/4)^((5pi)/4) y-xdydx+int_2^3int_((5pi)/4)^(pi/4) -y+xdydx$
cioè, lasciando stare il fatto che stai integrando tra 2 e 3, come se fossero due circonferenze di raggio, appunto, 2 e 3 [E NON E' COSI'!!!] ma mi chiedo: "hai impostato la funzione in coordinate cartesiane e gli estremi di integrazione in radianti[size=200] ?[/size]"
ae scusa -___- non ho cambiato ancora in coordinate polari volevo sapere solo se avevo scritto gli estremi bene in coordinate poalri
"guardiax":
ae scusa -___- non ho cambiato ancora in coordinate polari volevo sapere solo se avevo scritto gli estremi bene in coordinate poalri
No. Con l'ellisse non puoi usare le stesse coordinate polari
ok allora dove sta la circonferenza metto le coordiante polari e dove sta l'ellissi metto quelle del ellissi?! ma i radianti sono quelli almeno!?
"guardiax":
ok allora dove sta la circonferenza metto le coordiante polari e dove sta l'ellissi metto quelle del ellissi?! ma i radianti sono quelli almeno!?
sì i radianti relativi alla circonferenza sono quelli..è tutta la circonferenza.
dunque iniziamo così:
consideriamo la funzione iniziale: $|y-x|$. Per le evidenti proprietà di simmetria del dominio (vedi disegno post iniziale), possiamo evitare di calcolare l'integrale su tutto il dominio, calcolando l'integrale su metà di esso e successivamente moltiplicando il valore ottenuto per due. Se vogliamo utilizzare le coordinate polari / ellittiche dobbiamo pensare che esse mal si adattano ad essere utilizzate insieme. Procediamo quindi calcolando l'integrale su tutto il dominio della circonferenza $x^2+y^2<9$, successivamente sull'ellisse $x^2/4+y^2<1$ procedendo poi a sottrarre l'integrale calcolato sull'ellisse da quello calcolato sulla circonferenza, ottenendo il risultato cercato.
Prima di procedere con il calcolo ti faccio notare che l'uso delle coordinate ellittiche non è mandatorio (io tra l'altro non me le ricordavo nemmeno più e l'ho risolto utilizzando solo le coordinate polari). Infatti, possiamo vedere $x^2/4+y^2=1$ come una particolare circonferenza del tipo $z^2+y^2=1$ con $z=x/2$. Facendo così, basta effettuare prioritariamente un cambio di variabili che si ottiene lo stesso risultato di quello con le coordiante ellittiche.
Per quanto riguarda il calcolo dell'integrale sul dominio $x^2+y^2<9$, esso non presenta problema alcuno ed è facilmente risolvibile:
$2int_0^3int_(pi/4)^((5pi)/4)(rho^2sintheta-rho^2costheta) drho d theta$
Per quanto riguarda invece l'integrale sull'ellisse $x^2/4+y^2<1$ dobbiamo fare attenzione:
Cambio di variabili:
$y=rhosintheta$
$x=2rhocostheta$
$detJ=2 rho$
prendiamo ora la condizione $y>x$ e vediamo che, con il cambio di variabili diventa $rhosintheta>2rhocos theta$. Essendo $rho>0$ possiamo vederla come
[size=70]$sintheta>2costheta rarr sin^2theta>4cos^2theta rarr 1-cos^2theta>4cos^2theta rarr cos^2theta<1/5 rarr |costheta|<1/sqrt(5) rarr arcos(1/sqrt(5))
alla fine dovresti quindi trovarti a risolvere:
$2int_0^3int_(pi/4)^((5pi)/4)(rho^2sintheta-rho^2costheta) drho d theta-2int_0^1int_(arccos (1/sqrt (5)))^(arccos (-1/sqrt (5))) (2rho^2sintheta-4rho^2costheta) drho d theta$
che è davvero immediato come integrale. Dopo che lo hai risolto sostituisci il valore degli estremi di integrazione alla variabile ricordando che:
$cos(arccosx)=x$ e $sin (arccosx)=sqrt(1-x^2)$
spero di essere stato sufficientemente chiaro...
consideriamo la funzione iniziale: $|y-x|$. Per le evidenti proprietà di simmetria del dominio (vedi disegno post iniziale), possiamo evitare di calcolare l'integrale su tutto il dominio, calcolando l'integrale su metà di esso e successivamente moltiplicando il valore ottenuto per due. Se vogliamo utilizzare le coordinate polari / ellittiche dobbiamo pensare che esse mal si adattano ad essere utilizzate insieme. Procediamo quindi calcolando l'integrale su tutto il dominio della circonferenza $x^2+y^2<9$, successivamente sull'ellisse $x^2/4+y^2<1$ procedendo poi a sottrarre l'integrale calcolato sull'ellisse da quello calcolato sulla circonferenza, ottenendo il risultato cercato.
Prima di procedere con il calcolo ti faccio notare che l'uso delle coordinate ellittiche non è mandatorio (io tra l'altro non me le ricordavo nemmeno più e l'ho risolto utilizzando solo le coordinate polari). Infatti, possiamo vedere $x^2/4+y^2=1$ come una particolare circonferenza del tipo $z^2+y^2=1$ con $z=x/2$. Facendo così, basta effettuare prioritariamente un cambio di variabili che si ottiene lo stesso risultato di quello con le coordiante ellittiche.
Per quanto riguarda il calcolo dell'integrale sul dominio $x^2+y^2<9$, esso non presenta problema alcuno ed è facilmente risolvibile:
$2int_0^3int_(pi/4)^((5pi)/4)(rho^2sintheta-rho^2costheta) drho d theta$
Per quanto riguarda invece l'integrale sull'ellisse $x^2/4+y^2<1$ dobbiamo fare attenzione:
Cambio di variabili:
$y=rhosintheta$
$x=2rhocostheta$
$detJ=2 rho$
prendiamo ora la condizione $y>x$ e vediamo che, con il cambio di variabili diventa $rhosintheta>2rhocos theta$. Essendo $rho>0$ possiamo vederla come
[size=70]$sintheta>2costheta rarr sin^2theta>4cos^2theta rarr 1-cos^2theta>4cos^2theta rarr cos^2theta<1/5 rarr |costheta|<1/sqrt(5) rarr arcos(1/sqrt(5))
alla fine dovresti quindi trovarti a risolvere:
$2int_0^3int_(pi/4)^((5pi)/4)(rho^2sintheta-rho^2costheta) drho d theta-2int_0^1int_(arccos (1/sqrt (5)))^(arccos (-1/sqrt (5))) (2rho^2sintheta-4rho^2costheta) drho d theta$
che è davvero immediato come integrale. Dopo che lo hai risolto sostituisci il valore degli estremi di integrazione alla variabile ricordando che:
$cos(arccosx)=x$ e $sin (arccosx)=sqrt(1-x^2)$
spero di essere stato sufficientemente chiaro...
ora ho visto la risposta ora scrivo la risposta con i i passaggi alle coordiante e dopo lo provo a fare io.... così controlli estremi e passaggio a coordinate..
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