Integrale doppio
Ciao! devo risolvere questo integrale, ma non mi viene...
$ int_(E) y/2+x dx dy $
Con E la porzione di piano limitata dalla parabola $ y=1-x^2 $ e l'asse x.
il risultato è: $ 9/2log(3)-14/3 $
Ho provato trovando il dominio della parabola ed integrando per $ -1<= x<=1 $ e $ 0<= y<=1 $ , ma non mi viene...
Così sono passato in coordinate polari, ma neanche così niente...
Se magari qualcuno può indicarmi la strada giusta...
Grazie!
$ int_(E) y/2+x dx dy $
Con E la porzione di piano limitata dalla parabola $ y=1-x^2 $ e l'asse x.
il risultato è: $ 9/2log(3)-14/3 $
Ho provato trovando il dominio della parabola ed integrando per $ -1<= x<=1 $ e $ 0<= y<=1 $ , ma non mi viene...
Così sono passato in coordinate polari, ma neanche così niente...
Se magari qualcuno può indicarmi la strada giusta...
Grazie!
Risposte
L'insieme di integrazione è semplice rispetto alle $x$, quindi basta la formula di riduzione, integrando prima rispetto alle $y$ e poi rispetto alle $x$. Non ho capito i tuoi estremi: così integri su un rettangolo...
mmmh... si effettivamente hai ragione... Allora non ho ben capito come trovare gli estremi di integrazione... Potresti essere così gentile da dirmi come fare in questo caso?
Per prima cosa disegna su un foglio l'insieme di integrazione. L'insieme è semplice rispetto alle $x$, infatti ogni punto al suo interno è compreso tra la retta $y=0$ e il grafico di $y=1-x^2$. Usiamo le formule di riduzione che abbiamo imparato:
\[
\int_E \frac{y}{2}+x\,dx\,dy=\int_{-1}^{1} \int_{0}^{1-x^2} \frac{y}{2}+x \,dy \,dx=\dots
\]
Riesci a continuare tu?
\[
\int_E \frac{y}{2}+x\,dx\,dy=\int_{-1}^{1} \int_{0}^{1-x^2} \frac{y}{2}+x \,dy \,dx=\dots
\]
Riesci a continuare tu?
Ok, fino a qua ci sono... adesso devo semplicemente risolvere l'integrale prima rispetto ad y e poi rispetto ad x...
Quindi:
$ int_(-1)^(1) int_(0)^(1-x^2)y/2+x dx dy=int_(-1)^(1)(y^2/4+xy)|_0^(1-x^2) dx= $
$ =int_(-1)^(1) x^4-2x^2+1+4x^3+4x dx=(x^5/5-2/3x^3+x+4/4x^4+4/2x^2)|_-1^1 $
e svolgendo il calcolo mi viene $ 4/15 $.... Che però non è il risultato giusto... Quindi non è il metodo giusto... Quindi no, purtroppo sono arrivato solo fino a dove mi hai spiegato tu...
EDIT: un'altra cosa... io sto studiando da un libro che non suppone le formule di riduzione per la soluzione di questi integrali...
Quindi:
$ int_(-1)^(1) int_(0)^(1-x^2)y/2+x dx dy=int_(-1)^(1)(y^2/4+xy)|_0^(1-x^2) dx= $
$ =int_(-1)^(1) x^4-2x^2+1+4x^3+4x dx=(x^5/5-2/3x^3+x+4/4x^4+4/2x^2)|_-1^1 $
e svolgendo il calcolo mi viene $ 4/15 $.... Che però non è il risultato giusto... Quindi non è il metodo giusto... Quindi no, purtroppo sono arrivato solo fino a dove mi hai spiegato tu...
EDIT: un'altra cosa... io sto studiando da un libro che non suppone le formule di riduzione per la soluzione di questi integrali...
Il risultato dell'integrale è corretto, della riduzione almeno. Sei certo del testo? E della soluzione?
Senza formule di riduzione, cosa vuoi usare? Gauss-Green?
Senza formule di riduzione, cosa vuoi usare? Gauss-Green?
Ok, allora ho controllato con wolfram alpha ed il risultato è quello... Comunque il libro non mi vincola a nessun metodo my bad! Il testo e la soluzione sono pari pari a quelli scritti sul libro quindi deve essere sbagliata la soluzione... poi approssimando quella che mi da il libro e quella che ottengo c'è una differenza di 0.01...
my bad! Il testo e la soluzione sono pari pari a quelli scritti sul libro quindi deve essere sbagliata la soluzione... poi approssimando quella che mi da il libro e quella che ottengo c'è una differenza di 0.01...
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