Integrale doppio
Ciao a tutti, volevo chiedere aiuto per un passaggio che non riesco a capire in un integrale doppio. L'integrale in questione è il seguente
\(\displaystyle \int_0^L\textrm{d}z'\int_0^L\mathrm{d}z \ e^{-(z-z')} \)
che, nel passaggio successivo, è scritto nella forma
\(\displaystyle 2\int_0^L\textrm{d}z'\int_{z'}^L\mathrm{d}z \ e^{-(z-z')} \)
dove quindi è comparso un fattore 2 a moltiplicare ed è cambiato nel secondo integrale un estremo di integrazione.
Non capisco se si tratti di un'approssimazione (ovvero calcolo solo su metà del dominio di integrazione e poi appunto moltiplico per 2) oppure è giustificabile in maniera rigorosa...
Grazie a tutti
\(\displaystyle \int_0^L\textrm{d}z'\int_0^L\mathrm{d}z \ e^{-(z-z')} \)
che, nel passaggio successivo, è scritto nella forma
\(\displaystyle 2\int_0^L\textrm{d}z'\int_{z'}^L\mathrm{d}z \ e^{-(z-z')} \)
dove quindi è comparso un fattore 2 a moltiplicare ed è cambiato nel secondo integrale un estremo di integrazione.
Non capisco se si tratti di un'approssimazione (ovvero calcolo solo su metà del dominio di integrazione e poi appunto moltiplico per 2) oppure è giustificabile in maniera rigorosa...
Grazie a tutti
Risposte
No, è una considerazione fatta sulla forma del dominio. L'integrale è fatto su un quadrato di lato $L$: per cui esso equivale, data la simmetria della funzione esponenziale, a fare il doppio dell'integrale sul triangolo che si ottiene dal quadrato precedente tracciandone la diagonale. Ecco perché, nel secondo caso, $z'\le z\le L$
Grazie per la risposta, però non riesco ancora a capire una cosa.
La funzione integranda \(\displaystyle e^{-(z-z')} \) non è simmetrica sul quadrato di lato \(\displaystyle L \). Quindi la giustificazione data sembrerebbe non essere esatta...
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+e%5E%28-%28x-y%29%29+x+from+0+to+1+y+from+0+to+1
La funzione integranda \(\displaystyle e^{-(z-z')} \) non è simmetrica sul quadrato di lato \(\displaystyle L \). Quindi la giustificazione data sembrerebbe non essere esatta...
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+e%5E%28-%28x-y%29%29+x+from+0+to+1+y+from+0+to+1
La simmetria rispetto a $z=z'$....
Grazie per la risposta, però ancora non mi è chiaro... non riesco a capire per quale motivo la funzione è simmetrica rispetto a \(\displaystyle z=z' \)...
Guardando come è fatta la funzione, non sembrerebbe che il volume sotteso nella prima metà del quadrato dalla bisettrice \(\displaystyle z=z' \) sia uguale al volume sotteso nell'altra metà
Inoltre ho provato a svolgere in maniera analitica i due integrali... e viene un risultato diverso
\(\displaystyle \int_0^L\textrm{d}z'\int_0^L\mathrm{d}z \ e^{-(z-z')} = 2[\cosh(L)-1] \)
\(\displaystyle 2\int_0^L\textrm{d}z'\int_{z'}^L\mathrm{d}z \ e^{-(z-z')} = 2[L+e^{-L}-1] \)
Guardando come è fatta la funzione, non sembrerebbe che il volume sotteso nella prima metà del quadrato dalla bisettrice \(\displaystyle z=z' \) sia uguale al volume sotteso nell'altra metà
Inoltre ho provato a svolgere in maniera analitica i due integrali... e viene un risultato diverso
\(\displaystyle \int_0^L\textrm{d}z'\int_0^L\mathrm{d}z \ e^{-(z-z')} = 2[\cosh(L)-1] \)
\(\displaystyle 2\int_0^L\textrm{d}z'\int_{z'}^L\mathrm{d}z \ e^{-(z-z')} = 2[L+e^{-L}-1] \)
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