Integrale doppio
Salve a tutti,
mi trovo oggi (e ieri, anche) di fronte a questo integrale doppio:
$ int int_(A)tan(x+y)/(x+y) dx dy $ con $ A={(x,y)inRR^2:x+y<=1,x>0,y>0} $ ossia un quarto di Unit Simplex.
Ho davvero provato di tutto.
Se resto in coordinate cartesiane, l'insieme è semplice rispetto a entrambi gli assi e l'integrazione per fili è simmetrica ma non so integrare $ int_0^(1-x)tan(x+y)/(x+y)dy $ ! E' colpa mia? Ho provato per parti in ogni combinazione possibile, ma magari sbaglio io e il problema è davvero su questo integrale monovariabile, il che mi renderebbe molto felice
Ho provato a passare in coordinate polari, non è difficile ma l'integrale per fili a cui mi riconduco non è che una variante del precedente.
Ho provato a usare coordinate del tipo $ (rhocos^2(theta),rhosin^2(theta)) $ che semplificherebbero (grazie allo jacobiano) il denominatore, facendolo scomparire, ma poi l'integrale successivo è peggio di prima.
Se qualcuno potesse illuminarmi, vi sarei davvero molto grato!
mi trovo oggi (e ieri, anche) di fronte a questo integrale doppio:
$ int int_(A)tan(x+y)/(x+y) dx dy $ con $ A={(x,y)inRR^2:x+y<=1,x>0,y>0} $ ossia un quarto di Unit Simplex.
Ho davvero provato di tutto.
Se resto in coordinate cartesiane, l'insieme è semplice rispetto a entrambi gli assi e l'integrazione per fili è simmetrica ma non so integrare $ int_0^(1-x)tan(x+y)/(x+y)dy $ ! E' colpa mia? Ho provato per parti in ogni combinazione possibile, ma magari sbaglio io e il problema è davvero su questo integrale monovariabile, il che mi renderebbe molto felice
Ho provato a passare in coordinate polari, non è difficile ma l'integrale per fili a cui mi riconduco non è che una variante del precedente.
Ho provato a usare coordinate del tipo $ (rhocos^2(theta),rhosin^2(theta)) $ che semplificherebbero (grazie allo jacobiano) il denominatore, facendolo scomparire, ma poi l'integrale successivo è peggio di prima.
Se qualcuno potesse illuminarmi, vi sarei davvero molto grato!
Risposte
Sono riuscito a risolvere (almeno credo)!
Scrivo qua la presunta soluzione, nel caso servisse a qualcun'altro.
$ int int_(A)tan(x+y)/(x+y) dx dy $ con $ A={(x,y)inRR^2:x+y<=1, x>0,y>0} $
Opero il cambio di variabili $T$:
$ T^(-1){ ( u=x+y ),( v=y ):} $ ossia $ T{ ( x=u-v ),( y=v ):} $
Calcolo il determinante della Jacobiana di $T$:
$ |( 1 , -1 ),( 0 , 1 ) | =1 $
L'integrale diventa:
$ int int_(T^(-1))tan(u)/u du dv=int_0^1(int_0^utan(u)/udv)du=int_0^1tan(u)/u*(u)du=int_0^1tan(u)du =$
$=log(cos(1))-log(cos(0))=log(cos(1)) $
Spero sia corretto,
ciao!
Scrivo qua la presunta soluzione, nel caso servisse a qualcun'altro.
$ int int_(A)tan(x+y)/(x+y) dx dy $ con $ A={(x,y)inRR^2:x+y<=1, x>0,y>0} $
Opero il cambio di variabili $T$:
$ T^(-1){ ( u=x+y ),( v=y ):} $ ossia $ T{ ( x=u-v ),( y=v ):} $
Calcolo il determinante della Jacobiana di $T$:
$ |( 1 , -1 ),( 0 , 1 ) | =1 $
L'integrale diventa:
$ int int_(T^(-1))tan(u)/u du dv=int_0^1(int_0^utan(u)/udv)du=int_0^1tan(u)/u*(u)du=int_0^1tan(u)du =$
$=log(cos(1))-log(cos(0))=log(cos(1)) $
Spero sia corretto,
ciao!
NON ho guardato i calcoli.. ma a vista d'occhio mi pare di si!..
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