Integrale doppio

[Fab527]

"Calcolare l'integrale $ int int_(A)sqrt(xy)/(x^2+y^2) dx dy $ dove $ A={(x,y)inR^2:(x-1)^2+(y-1)^2<=1} $ "

Sono passato in coordinate polari $ x=rho*cos(theta) $ , $ y=rho*sin(theta) $ , con $ 0<=theta<=2pi $ e $ 0<=rho<=2 $ , trattandosi il dominio del cerchio centrato in $ (1,1) $ di raggio unitario.

$ int_(0)^(2pi)d theta int_(0)^(2) sqrt(rho^2cos(theta)sin(theta))/rho^2 *rho*drho $
da cui
$ int_(0)^(2pi)d theta int_(0)^(2) sqrt(cos(theta)sin(theta))*drho $
poi
$ 2int_(0)^(2pi)d theta sqrt(cos(theta)sin(theta)) $
infine
$ 1/2int_(0)^(2pi)d theta sqrt(sin(2theta) $

Ho commesso errori? Non riesco più ad andare avanti con questa integrazione che mi è venuta...

[21zuclo]

mi spieghi come hai fatto a trovare $ 0\leq \rho \leq 2 $

sostituendo queste coordinate $ { ( x=\rho \cos\theta ),( y=\rho\sin\theta ):} $

in $ (x-1)^2+(y-1)^2\leq 1 $
Mi spieghi che calcoli hai fatto?.. e NON centra che sia una circonferenza di centro $ C=((1),(1)) $

semai 2 è il diametro di quel cerchio!..

[Fab527]

"21zuclo":mi spieghi come hai fatto a trovare $ 0\leq \rho \leq 2 $

sostituendo queste coordinate $ { ( x=\rho \cos\theta ),( y=\rho\sin\theta ):} $

in $ (x-1)^2+(y-1)^2\leq 1 $
Mi spieghi che calcoli hai fatto?.. e NON centra che sia una circonferenza di centro $ C=((1),(1)) $

semai 2 è il diametro di quel cerchio!..

Non ho sostituito nella disequazione ma mi sono fatto una rappresentazione grafica...appunto perchè ha un diametro due la distanza dall'origine dovrà essere compresa tra zero e due...però ora che mi ci fai pensare anche così avrei sbagliato l'angolo, che dovrebbe andare da 0 a pi/2 (il cerchio è nel primo quadrante). È sbagliato ragionare così?

[21zuclo]

"Fab527":
Non ho sostituito nella disequazione ma mi sono fatto una rappresentazione grafica...appunto perchè ha un diametro due la distanza dall'origine dovrà essere compresa tra zero e due...però ora che mi ci fai pensare anche così avrei sbagliato l'angolo, che dovrebbe andare da 0 a pi/2 (il cerchio è nel primo quadrante). È sbagliato ragionare così?

è nel primo quadrante, quindi si l'angolo $\theta$ potrebbe essere $\theta \in [0,\pi/2]$

quello che ancora non capisco, dal tuo ragionamento è $\rho \in [0,2]$

è una circonferenza di centro $C=(1,1)^T$

dici la distanza da dove?..

[Fab527]

"21zuclo":[quote="Fab527"]
Non ho sostituito nella disequazione ma mi sono fatto una rappresentazione grafica...appunto perchè ha un diametro due la distanza dall'origine dovrà essere compresa tra zero e due...però ora che mi ci fai pensare anche così avrei sbagliato l'angolo, che dovrebbe andare da 0 a pi/2 (il cerchio è nel primo quadrante). È sbagliato ragionare così?

è nel primo quadrante, quindi si l'angolo $\theta$ potrebbe essere $\theta \in [0,\pi/2]$

quello che ancora non capisco, dal tuo ragionamento è $\rho \in [0,2]$

è una circonferenza di centro $C=(1,1)^T$

dici la distanza da dove?..[/quote]

Wow credo di aver capito di aver fatto un'ingenuità bella grossa...il punto che ho fissato come origine coincide con l'origine delle coordinate cartesiane (avevo anche provato a sostituire $ x=1+rhocostheta $ e $ y=1+rhosin theta $ ma uscivano calcoli ancora peggiori)...però in pratica limitandola a 2 vado a trascurare che c'è una zona "vuota" che è racchiusa tra il cerchio e i due semiassi positivi e che mi estende l'ampiezza di $ rho $ necessaria.

[21zuclo]

EDIT..era giusto

[Fab527]

"21zuclo":Secondo me c'è qualche errore di stampa da qualche parte..o nella funzione integranda oppure nella circonferenza

perché con questo cambio di coordinate $ { ( x=1+\rho\cos\theta ),( y=1+\rho\sin\theta ):} $

peggiora molto la situazione

mentre con questo cambio di coordinate $ { ( x=\rho\cos\theta ),( y=\rho\sin\theta ):} $

qualsiasi siano le coordinate di $\rho$ e $\theta$ ti salta fuori quest'integrale

$ int (\sqrt(\cos\theta \sin\theta)) d\theta =(\sqrt(2))/(2)\int (\sqrt(\sin(2\theta))) d\theta$

che non ha una primitiva elementare..

Sono esercizi dati dal prof quindi è verosimile che magari non abbia controllato dove si andava a finire svolgendo i calcoli.

Per concludere il discorso sulle coordinate, mi confermi quello che ho scritto nel post precedente? In caso a determinare l'intervallo di $ rho $ si arriverebbe soltanto tramite le seguenti

$ (x-1)^2+(y-1)^2<=1 $

$ (rhocostheta-1)^2+(rhosintheta-1)^2<=1 $

$ rho^2cos^2(theta)+1-2rhocostheta+rho^2sin^2(theta)+1-2rhosin(theta)<=1 $

$ rho^2-2rho(costheta+sintheta)+1<=0 $

$ rho_1,_2=(costheta+sintheta)+-sqrt(2sinthetacostheta) $

$ 0<=rho<=(costheta+sintheta)+sqrt(sin(2theta) $ ???

[21zuclo]

"Fab527":
Sono esercizi dati dal prof quindi è verosimile che magari non abbia controllato dove si andava a finire svolgendo i calcoli.

Per concludere il discorso sulle coordinate, mi confermi quello che ho scritto nel post precedente? In caso a determinare l'intervallo di $ rho $ si arriverebbe soltanto tramite le seguenti

$ (x-1)^2+(y-1)^2<=1 $

$ (rhocostheta-1)^2+(rhosintheta-1)^2<=1 $

$ rho^2cos^2(theta)+1-2rhocostheta+rho^2sin^2(theta)+1-2rhosin(theta)<=1 $

$ rho^2-2rho(costheta+sintheta)+1<=0 $

$ rho_1,_2=(costheta+sintheta)+-sqrt(2sinthetacostheta) $

$ 0<=rho<=(costheta+sintheta)+sqrt(sin(2theta) $ ???

Ecco questo sembra più esatto!

Solo che io farei così
$theta in [0,pi/2];rho in [costheta+sentheta-sqrt(2costhetasentheta),costheta+sentheta+sqrt(2costhetasentheta)]$

e l'angolo è tra $0$ e $\pi/2$

perché deve essere $ 2costhetasentheta\geq 0 $

Comunque lo stavo già facendo dall'inizio così è per questo che ti avevo chiesto che calcoli avevi fatto
per avere $\rho \in [0,2]$ che non capivo..
io ormai non disegno quasi mai.. faccio solo il cambio di coordinate e poi sostituisco dentro!..

[Fab527]

"21zuclo":[quote="Fab527"]
Sono esercizi dati dal prof quindi è verosimile che magari non abbia controllato dove si andava a finire svolgendo i calcoli.

Per concludere il discorso sulle coordinate, mi confermi quello che ho scritto nel post precedente? In caso a determinare l'intervallo di $ rho $ si arriverebbe soltanto tramite le seguenti

$ (x-1)^2+(y-1)^2<=1 $

$ (rhocostheta-1)^2+(rhosintheta-1)^2<=1 $

$ rho^2cos^2(theta)+1-2rhocostheta+rho^2sin^2(theta)+1-2rhosin(theta)<=1 $

$ rho^2-2rho(costheta+sintheta)+1<=0 $

$ rho_1,_2=(costheta+sintheta)+-sqrt(2sinthetacostheta) $

$ 0<=rho<=(costheta+sintheta)+sqrt(sin(2theta) $ ???

Ecco questo sembra più esatto!

Solo che io farei così
$theta in [0,pi/2];rho in [costheta+sentheta-sqrt(2costhetasentheta),costheta+sentheta+sqrt(2costhetasentheta)]$

e l'angolo è tra $0$ e $\pi/2$

perché deve essere $ 2costhetasentheta\geq 0 $

Comunque lo stavo già facendo dall'inizio così è per questo che ti avevo chiesto che calcoli avevi fatto
per avere $\rho \in [0,2]$ che non capivo..
io ormai non disegno quasi mai.. faccio solo il cambio di coordinate e poi sostituisco dentro!..[/quote]

Grazie

Ultimo piccolo dubbio, tu hai preso $ rho $ in $ [costheta+sentheta-sqrt(2costhetasentheta),costheta+sentheta+sqrt(2costhetasentheta)] $...ma $ costheta+sintheta-sqrt(2costhetasintheta) $ non rischia di essere una quantità negativa (e considerando che $ rho $ è per definizione maggiore o uguale a zero, non andrebbe bene)?

Oppure il fatto che il prodotto di seno e coseno, due numeri con valore assoluto più piccolo di 1, che quindi moltiplicandosi diventano ancora più piccoli basta ad assicurare la positività a $ rho $?
Ci sarebbero quel 2 e quella radice che potrebbero dare problemi.

EDIT: Considerando ovviamente che seno e coseno sono entrambi positivi nell'intervallo di $ theta $ considerato