Integrale doppio
ciao ragazzi allora devo svolgere un integrale su un dominio normale rispetto a x ma questa volta non so come mettere gli estremi di integrazione cioe
$D={(x,y):0<=x<=3,3>=y>=sqrt(9-x^2)}$
bene il primo integrale in dx è semplice vedendo la diseguazione devo prendere area che è compresa tra 0e 3 cioe
$int_(0)^(3)f(x)dx$
mentre nel secondo integrale lo devo scrivere cosi ??
$int_(sqrt(9-x^2))^(3)g(y)dy$ ho invertito gli estremi di integrazione in quanto sono tutte maggiorazioni ma y deve essere compresa tra quei due valori
se è giusto quello che ho scritto come si scrivono in coordinate polari $(rho,theta)$ gli estremi di integrazione ??
$D={(x,y):0<=x<=3,3>=y>=sqrt(9-x^2)}$
bene il primo integrale in dx è semplice vedendo la diseguazione devo prendere area che è compresa tra 0e 3 cioe
$int_(0)^(3)f(x)dx$
mentre nel secondo integrale lo devo scrivere cosi ??
$int_(sqrt(9-x^2))^(3)g(y)dy$ ho invertito gli estremi di integrazione in quanto sono tutte maggiorazioni ma y deve essere compresa tra quei due valori
se è giusto quello che ho scritto come si scrivono in coordinate polari $(rho,theta)$ gli estremi di integrazione ??
Risposte
Qual è l'integrale doppio che devi calcolare sul dominio indicato?
Ricorda che se esprimi in coordinate polari gli estremi di integrazione devi fare la stessa cosa per la funzione integranda:
$int_Df(x,y)\dx\dy=int_{D'}f(rho\costheta,rho\sintheta)rho\ \drho\ \d theta$, dove $D'$ è il dominio $D$ espresso nelle nuove variabili $(rho,theta)$.
"alessandrof10":
come si scrivono in coordinate polari $ (rho,theta) $ gli estremi di integrazione ??
Ricorda che se esprimi in coordinate polari gli estremi di integrazione devi fare la stessa cosa per la funzione integranda:
$int_Df(x,y)\dx\dy=int_{D'}f(rho\costheta,rho\sintheta)rho\ \drho\ \d theta$, dove $D'$ è il dominio $D$ espresso nelle nuove variabili $(rho,theta)$.
allora dott grazie di avermi risposto, integrale in questione è questo
$int int_D x/(x^2+y^2)dxdy$
lo svolto in queste coordinate e escono due integrali del arcotangente che risolvendoli mi esce $0.39$
invece se lo faccio come cambio di coordinate non si puo svolgere. integrale in cambio di coordinate è questo:
$int_(0)^(pi/2)int_(3)^(3/sin(theta)) cos(theta) d(rho)d(theta)$
e svolgendolo mi trovo davanti un logaritmo di zero in cui non è definita la funzione (il logaritmo mi esce in quanto nel secondo integrale in theta mi esce la cotangente e la sua primitiva e proprio log|sen(theta)| che in zero non è definita e quindi l integrale non converge :S
allora le trasformazioni lo fatte cosi :
$(rhocos(theta) rho)/(rho)^2=cos(theta)$
( $x=rhocos(theta)$
$x^2+y^2=rho^2$
$det(J(rho,theta)=rho$)
mentre gli estremi
$y<3->rhosin(theta)<3->rho<3/sin(theta)$
$x^2+y^2>9->rho>3$
$int int_D x/(x^2+y^2)dxdy$
lo svolto in queste coordinate e escono due integrali del arcotangente che risolvendoli mi esce $0.39$
invece se lo faccio come cambio di coordinate non si puo svolgere. integrale in cambio di coordinate è questo:
$int_(0)^(pi/2)int_(3)^(3/sin(theta)) cos(theta) d(rho)d(theta)$
e svolgendolo mi trovo davanti un logaritmo di zero in cui non è definita la funzione (il logaritmo mi esce in quanto nel secondo integrale in theta mi esce la cotangente e la sua primitiva e proprio log|sen(theta)| che in zero non è definita e quindi l integrale non converge :S
allora le trasformazioni lo fatte cosi :
$(rhocos(theta) rho)/(rho)^2=cos(theta)$
( $x=rhocos(theta)$
$x^2+y^2=rho^2$
$det(J(rho,theta)=rho$)
mentre gli estremi
$y<3->rhosin(theta)<3->rho<3/sin(theta)$
$x^2+y^2>9->rho>3$
"alessandrof10":
$int int_D x/(x^2+y^2)dxdy$
lo svolto in queste coordinate e escono due integrali del arcotangente che risolvendoli mi esce $0.39$
Questo risultato mi torna, anche se lo scriverei in forma esatta...
"alessandrof10":
mentre gli estremi
$ y<3->rhosin(theta)<3->rho<3/sin(theta) $
$ x^2+y^2>9->rho>3 $
Questa parte non va bene, invece.
Prova a disegnare questo dominio che hai scritto in coordinate $(rho,theta)$ e confrontalo con il $D$ iniziale.
Sono uguali?
sisi dott ho risolto in poche parole quel dominio lo devo dividere in due sotto domini cioè
$D1={(x,y): 0<=rho<=pi/4,3<=y<=3/cos(theta)}$
$D2={(x,y): pi/4<=rho<=pi/2,3<=y<=3/sin(theta)}$
prendo il mio domino D traccio la bisettrice y=x e poi scrivo le due 4 disuguaglianze
$D1={(x,y): 0<=rho<=pi/4,3<=y<=3/cos(theta)}$
$D2={(x,y): pi/4<=rho<=pi/2,3<=y<=3/sin(theta)}$
prendo il mio domino D traccio la bisettrice y=x e poi scrivo le due 4 disuguaglianze
"alessandrof10":
in poche parole quel dominio lo devo dividere in due sotto domini
Ok, molto bene.
"alessandrof10":
$ D1={(x,y): 0<=rho<=pi/4,3<=y<=3/cos(theta)} $
$ D2={(x,y): pi/4<=rho<=pi/2,3<=y<=3/sin(theta)} $
Qui hai mischiato le variabili ma gli intervalli sono corretti:
$ D1={(rho,theta)\ :\ 0<=theta
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