Integrale doppio
Devo calcolare l'integrale doppio:
$int xy dx dy$
In D, regione piana delimitata dalla retta di equazione $y=x-1$ e dalla parabola di equazione $y^2 = 2x + 6$.
Per ottenere gli estremi d'integrazione in dx e in xy, posso mettere a sistema le due equazioni e calcolare i valori si x e y ?
Grazie.
$int xy dx dy$
In D, regione piana delimitata dalla retta di equazione $y=x-1$ e dalla parabola di equazione $y^2 = 2x + 6$.
Per ottenere gli estremi d'integrazione in dx e in xy, posso mettere a sistema le due equazioni e calcolare i valori si x e y ?
Grazie.
Risposte
Quindi andrebbe bene sia il "metodo" che ho detto io che quello scritto poi da te ?
I valori -2 e 4 rispetto ad y li hai ottenuti mettendo a sistema le due equazioni, giusto ?
I valori -2 e 4 rispetto ad y li hai ottenuti mettendo a sistema le due equazioni, giusto ?
Ok, su questo ci sono.
Però noto che hai ottenuto determinati valori di $y$ che non hai usato per ottenere valori di $x$, ma per $x$ ti sei semplicemente ''accontentato'' di lasciare ''intatta'' l'incognita $y$. Così facendo dovrei prima svolgere l'integrale in $dx$ e poi in $dy$.
Io stesso nello studio del sistema ho poi sostituito $y = -2$ e $y = 4$ ottenendo i valori della $x$ compresi tra $-1$ e $5$, quindi svolgendo l'integrale doppio:
$int_{-2}^{4} dy$ $int_{-1}^{5} xy dx$
Ti pare giusto come procedimento ?
Ora, se invece avessi avuto $D = {x in RR^2 : 1 <= x^2 + y^2 <= 9, x <= y}$.
Per calcolare gli estremi d'integrazione non ho due equazioni da mettere a sistema, so solo che il dominio è dato da quella regione di spazio tra due circonferenze di raggio 1 e 9 e che $x <= y$ (equazione della bisettrice di primo e terzo quadrante se non erro). Come potrei procedere per il calcolo degli estremi d'integrazione ?
Però noto che hai ottenuto determinati valori di $y$ che non hai usato per ottenere valori di $x$, ma per $x$ ti sei semplicemente ''accontentato'' di lasciare ''intatta'' l'incognita $y$. Così facendo dovrei prima svolgere l'integrale in $dx$ e poi in $dy$.
Io stesso nello studio del sistema ho poi sostituito $y = -2$ e $y = 4$ ottenendo i valori della $x$ compresi tra $-1$ e $5$, quindi svolgendo l'integrale doppio:
$int_{-2}^{4} dy$ $int_{-1}^{5} xy dx$
Ti pare giusto come procedimento ?
Ora, se invece avessi avuto $D = {x in RR^2 : 1 <= x^2 + y^2 <= 9, x <= y}$.
Per calcolare gli estremi d'integrazione non ho due equazioni da mettere a sistema, so solo che il dominio è dato da quella regione di spazio tra due circonferenze di raggio 1 e 9 e che $x <= y$ (equazione della bisettrice di primo e terzo quadrante se non erro). Come potrei procedere per il calcolo degli estremi d'integrazione ?
L'utilizzo delle coordinate polari nel secondo caso mi sembra molto più semplice.
Ti scrivo un esempio, potresti gentilmente dirmi se ho ragionato correttamente ?
L'integrale doppio è
$int_{D} x/((x^2+y^2)^2) dxdy$
$D = { x in RR^2 : x^2+y^2 <= 1, y >= 1 - x}$
Semplicemente si può scrivere che:
$1 - x <= y <= sqrt(1 - x^2)$
$0 <= x <= 1$
In realtà , osservando il testo, penso che sia più semplice l'integrale con le coordinate polari.
Volendo portare tutto a coordinate polari, avrei $-1 <= rho <= 1$, mentre per gli estremi d'integrazione di $dtheta$ dovrei lavorare con $y >= 1 - x$. Cioè li devo ricavare dalla disequazione $sentheta + costheta >= 1/(rho)$.
Cosa ne dici ?
Ti scrivo un esempio, potresti gentilmente dirmi se ho ragionato correttamente ?
L'integrale doppio è
$int_{D} x/((x^2+y^2)^2) dxdy$
$D = { x in RR^2 : x^2+y^2 <= 1, y >= 1 - x}$
Semplicemente si può scrivere che:
$1 - x <= y <= sqrt(1 - x^2)$
$0 <= x <= 1$
In realtà , osservando il testo, penso che sia più semplice l'integrale con le coordinate polari.
Volendo portare tutto a coordinate polari, avrei $-1 <= rho <= 1$, mentre per gli estremi d'integrazione di $dtheta$ dovrei lavorare con $y >= 1 - x$. Cioè li devo ricavare dalla disequazione $sentheta + costheta >= 1/(rho)$.
Cosa ne dici ?
In effetti meglio evitare le coordinate polari.
Con le coordinate cartesiane è tutto più fattibile in questo caso.
Grazie TeM.
Con le coordinate cartesiane è tutto più fattibile in questo caso.
Grazie TeM.
Ragazzi devo calcolare l'integrale doppio di una funzione in un dominio contenuto in una circonferenza $(1, 0)$ e raggio $1$.
Ai fini delle coordinate cartesiane e i rispettivi estremi d'integrazione cambia qualcosa che l'origine della circonferenza è $(1, 0)$ e non $(0, 0)$ ? Oppure posso sempre dire che $0 <= theta <= 2pi$ e $0 <= rho <= 1$ ?
Grazie.
Ai fini delle coordinate cartesiane e i rispettivi estremi d'integrazione cambia qualcosa che l'origine della circonferenza è $(1, 0)$ e non $(0, 0)$ ? Oppure posso sempre dire che $0 <= theta <= 2pi$ e $0 <= rho <= 1$ ?
Grazie.
Devo calcolare l'integrale:
$int_D (2x + y)/(x^2+y^2) dx dy$
Con D che è il dominio contenuto nella circonferenza d'origine $(1, 0)$ e raggio $1$.
$int_D (2x + y)/(x^2+y^2) dx dy$
Con D che è il dominio contenuto nella circonferenza d'origine $(1, 0)$ e raggio $1$.
Secondo me l'integrale viene fuori differente, non credi TeM?
Ah no, ho letto io "male": pensavo avessi usato le coordinate polari traslate.
TeM mi spiegheresti per favore come hai ottenuto la disequazione:
$(x - 1)^2 + y^2 <= 1$
Se fosse stato di centro $(0, 0)$ avrei semplicemente scritto $x^2 + y^2 <= 1$, ma hai appunto sottratto il valore dell'ascissa ad $x$ ? Quindi se fosse stato di centro $(0, 9)$ avresti scritto:
$x^2 + (y - 9)^2 <= 1$
Oppure ho capito totalmente male ?
$(x - 1)^2 + y^2 <= 1$
Se fosse stato di centro $(0, 0)$ avrei semplicemente scritto $x^2 + y^2 <= 1$, ma hai appunto sottratto il valore dell'ascissa ad $x$ ? Quindi se fosse stato di centro $(0, 9)$ avresti scritto:
$x^2 + (y - 9)^2 <= 1$
Oppure ho capito totalmente male ?
Equazione della circonferenza di centro $C(a,b)$ e raggio $r$:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Però, le definizioni e le cose di base, dico, io, almeno uno se le va a guardare.
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Però, le definizioni e le cose di base, dico, io, almeno uno se le va a guardare.
TeM ma $theta$ non è genericamente compreso tra $o$ e $2pi$ ?
E quindi la parte inferiore allo $0$ (da $-pi/2$ a $0$) non va considerata e gli estremi di integrazione sono $0$ e $pi/2$ ?
E quindi la parte inferiore allo $0$ (da $-pi/2$ a $0$) non va considerata e gli estremi di integrazione sono $0$ e $pi/2$ ?
Devo calcolare l'integrale doppio di $y$ in $C$, regione di piano descritta in coordinate polari da $rho <= 1 + costheta$ con $theta in [0, pi]$. Come posso fare?
Devo mica determinare il passaggio di $theta in [0, pi]$ cosicché $rho$ sia compreso tra $0$ e $1$ ?
Devo mica determinare il passaggio di $theta in [0, pi]$ cosicché $rho$ sia compreso tra $0$ e $1$ ?
E' abbastanza semplice mostrare che l'area compresa dentro una curva $\rho=\rho(\theta)$ con $\theta\in[a,b]$ è pari a
$$\frac{1}{2}\int_a^b \rho^2(\theta)\ d\theta$$
$$\frac{1}{2}\int_a^b \rho^2(\theta)\ d\theta$$
Puoi spiegarti meglio ciampax ?
Da quel che vedo hai semplicemente integrato $rho$ tra $1$ e $0$.
Da quel che vedo hai semplicemente integrato $rho$ tra $1$ e $0$.
No, assolutamente. Abbiamo la situazione seguente: un dominio $C$ che, in coordinate polari può essere rappresentato dalla funzione
$$\rho=\rho(\theta),\qquad \theta\in[a,b]$$
Ora, dovresti sapere che il calcolo dell'area di $C$ è data dall'integrale
$$A=\iint_C dx\ dy$$
che, passando a coordinate polari diventa
$$\iint_C \rho\ d\rho\ d\theta$$
L'idea è la seguente: dal momento che $\rho\ge 0$ per definizione e che $\rho(\theta)$ ne determina la limitazione massima al variare di $\theta$, possiamo scrivere $\theta\in[a,b],\ \rho\in[0,\rho(\theta)]$ e quindi
$$A=\int_a^b\int_0^{\rho(\theta)} \rho\ d\rho\ d\theta=\int_a^b \left[\frac{\rho^2}{2}\right]_0^{\rho(\theta)}\ d\theta=\frac{1}{2}\int_a^b \rho^2(\theta)\ d\theta$$
che è la formula che ho scritto sopra.
Comunque, tu devi imparare a leggere con attenzione ciò che ti viene scritto, perché non è la prima volta che capisci fischi per fiaschi. A te pare che io, sopra, abbia fatto menzione, da qualche parte, di un $\rho\in[0,1]$????
$$\rho=\rho(\theta),\qquad \theta\in[a,b]$$
Ora, dovresti sapere che il calcolo dell'area di $C$ è data dall'integrale
$$A=\iint_C dx\ dy$$
che, passando a coordinate polari diventa
$$\iint_C \rho\ d\rho\ d\theta$$
L'idea è la seguente: dal momento che $\rho\ge 0$ per definizione e che $\rho(\theta)$ ne determina la limitazione massima al variare di $\theta$, possiamo scrivere $\theta\in[a,b],\ \rho\in[0,\rho(\theta)]$ e quindi
$$A=\int_a^b\int_0^{\rho(\theta)} \rho\ d\rho\ d\theta=\int_a^b \left[\frac{\rho^2}{2}\right]_0^{\rho(\theta)}\ d\theta=\frac{1}{2}\int_a^b \rho^2(\theta)\ d\theta$$
che è la formula che ho scritto sopra.
Comunque, tu devi imparare a leggere con attenzione ciò che ti viene scritto, perché non è la prima volta che capisci fischi per fiaschi. A te pare che io, sopra, abbia fatto menzione, da qualche parte, di un $\rho\in[0,1]$????
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