Integrale doppio
Ho un problema nel trovare gli estremi di questo integrale doppio
$\int\int_{D}ydxdy$ in $E={(x,y)\inRR^2|y>=0,x^2+y^2<=16,(x-1)^2+y^2>=4}$
Mi perdonerete, ma non so disegnarlo al pc, quindi siate indulgenti, l'ho fatto con paint xD
E...I bordi dove ho segnato l'area di rosso sono compresi xD
http://oi57.tinypic.com/52vbk.jpg
Sicuramente devo spezzarlo in tre integrali, dove $dx$ sarà $[-4,-1],[-1,3],[3,4]$
Ma l'integrazione in y? Cosa ci metto negli estremi?? Io di solito risolvo le disequazioni che mi vengono date e nella maggior parte dei casi mi va bene. Così in teoria lo potrei sempre fare perchè il primo e il terzo integrale sono quelli sul bordo della circonferenza più grande che integrerò da $0$ a $sqrt(16-x^2)$. Il mio problema è la circonferenza interna
$\int\int_{D}ydxdy$ in $E={(x,y)\inRR^2|y>=0,x^2+y^2<=16,(x-1)^2+y^2>=4}$
Mi perdonerete, ma non so disegnarlo al pc, quindi siate indulgenti, l'ho fatto con paint xD
E...I bordi dove ho segnato l'area di rosso sono compresi xD
http://oi57.tinypic.com/52vbk.jpg
Sicuramente devo spezzarlo in tre integrali, dove $dx$ sarà $[-4,-1],[-1,3],[3,4]$
Ma l'integrazione in y? Cosa ci metto negli estremi?? Io di solito risolvo le disequazioni che mi vengono date e nella maggior parte dei casi mi va bene. Così in teoria lo potrei sempre fare perchè il primo e il terzo integrale sono quelli sul bordo della circonferenza più grande che integrerò da $0$ a $sqrt(16-x^2)$. Il mio problema è la circonferenza interna
Risposte
Chiaramante non conviene lavorare in coordinate cartesiane.
La cosa migliore sembrerebbe passare in coordinate polari.
La cosa migliore sembrerebbe passare in coordinate polari.
Cioè potrei calcolarlo come
$\int_{0}^{pi}\int_{0}^{4}\rho^2sin\thetad\rhod\theta-\int_{0}^{pi}\int_{0}^{2}\rho^2sin\thetad\rhod\theta$?
Ovvero mezza area del cerchio più grosso meno mezza area del cerchio più piccolo
$\int_{0}^{pi}\int_{0}^{4}\rho^2sin\thetad\rhod\theta-\int_{0}^{pi}\int_{0}^{2}\rho^2sin\thetad\rhod\theta$?
Ovvero mezza area del cerchio più grosso meno mezza area del cerchio più piccolo
bisogna determinare l'equazione polare della circonferenza di centro $(1,0)$
$(rhocostheta-1)^2+rho^2sen^2theta=4$
cioè
$rho^2-2rhocostheta -3=0$
da cui si ricava
$rho=costheta+sqrt(cos^2theta+3)$
quindi,parametrizzando il dominio con le coordinate polari,si ha
$theta in[0,pi],rho in [costheta+sqrt(cos^2theta+3),4]$
$(rhocostheta-1)^2+rho^2sen^2theta=4$
cioè
$rho^2-2rhocostheta -3=0$
da cui si ricava
$rho=costheta+sqrt(cos^2theta+3)$
quindi,parametrizzando il dominio con le coordinate polari,si ha
$theta in[0,pi],rho in [costheta+sqrt(cos^2theta+3),4]$
Se buttassi dentro all'integrale una cosa del genere, starei lì tutta la giornata...
Così immagino che andrei a fare un solo integrale doppio anzichè due.
Ho provato poco fa a risolvere quello che ho scritto io e viene $112/3$, uguale alla soluzione c'è ho sull'eserciziario con l'unica differenza che lì lo risolveva in coordinate cartesiane e non capivo come tirava fuori gli estremi.
In coordinate polari è decisamente più facile visto che devo calcolare la regione che sta tra i due cerchio per $y>0$
Più che perdermi nei calcoli ho solo pensato alla geometria classica. Dovendo calcolare l'area che sta in mezzo ai due cerchi, faccio quella esterna meno quella interna e trovo quella in mezzo...
Così immagino che andrei a fare un solo integrale doppio anzichè due.
Ho provato poco fa a risolvere quello che ho scritto io e viene $112/3$, uguale alla soluzione c'è ho sull'eserciziario con l'unica differenza che lì lo risolveva in coordinate cartesiane e non capivo come tirava fuori gli estremi.
In coordinate polari è decisamente più facile visto che devo calcolare la regione che sta tra i due cerchio per $y>0$
Più che perdermi nei calcoli ho solo pensato alla geometria classica. Dovendo calcolare l'area che sta in mezzo ai due cerchi, faccio quella esterna meno quella interna e trovo quella in mezzo...
ma l'integrale che devi calcolare non è uguale all'area del dominio
lo sarebbe se l'integrando fosse uguale ad $1$
lo sarebbe se l'integrando fosse uguale ad $1$
Quindi è un caso che venga giusto il risultato?
scusa, ma la differenza delle aree dei 2 semicerchi è uguale a $6pi$ che non è neanche un parente lontano di $112/3$ 
Dato che:
\[
D=\overline{B}((0,0);4)\setminus B((1,0);2)\; ,
\]
per la proprietà additiva dell'integrale e per il fatto che \(\partial B((1,0);2)\) ha misura nulla hai:
\[
\int_D y\ \text{d} x\text{d} y = \iint_{\overline{B}((0,0);4)} y\ \text{d} x\text{d} y - \iint_{\overline{B}((1,0);2)} y\ \text{d} x\text{d} y\; ,
\]
quindi basta calcolare gli integrali al secondo membro e sottrarre.
Per calcolare il primo integrale, le coordinate polari vanno usate in modo standard, cioé col polo in \((0,0)\); per calcolare il secondo bisogna spostare il polo in \((1,0)\).
Ovviamente i simboli \(\overline{B}((x_0,y_0);r)\) e \(B((x_0,y_0);r)\) denotano, rispettivamente, il cerchio chiuso ed il cerchio aperto di centro \((x_0,y_0)\) e raggio \(r>0\),
\[
D=\overline{B}((0,0);4)\setminus B((1,0);2)\; ,
\]
per la proprietà additiva dell'integrale e per il fatto che \(\partial B((1,0);2)\) ha misura nulla hai:
\[
\int_D y\ \text{d} x\text{d} y = \iint_{\overline{B}((0,0);4)} y\ \text{d} x\text{d} y - \iint_{\overline{B}((1,0);2)} y\ \text{d} x\text{d} y\; ,
\]
quindi basta calcolare gli integrali al secondo membro e sottrarre.
Per calcolare il primo integrale, le coordinate polari vanno usate in modo standard, cioé col polo in \((0,0)\); per calcolare il secondo bisogna spostare il polo in \((1,0)\).
Ovviamente i simboli \(\overline{B}((x_0,y_0);r)\) e \(B((x_0,y_0);r)\) denotano, rispettivamente, il cerchio chiuso ed il cerchio aperto di centro \((x_0,y_0)\) e raggio \(r>0\),
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