Integrale doppio
Salve a tutti 
,
mi sono imbattuto in questo integrale doppio che non riesco a risolvere.
$ int int_(D) xydx dy $
$ {(x,y):1<=x^2+y^2<=4; -1<=y<=1} $
So che dovrebbe essere risolto per simmetria con l'asse y, ma non riesco proprio a capire perché. Dovrebbe venire 0 il risultato. Potreste aiutarmi con qualche delucidazione?
,mi sono imbattuto in questo integrale doppio che non riesco a risolvere.
$ int int_(D) xydx dy $
$ {(x,y):1<=x^2+y^2<=4; -1<=y<=1} $
So che dovrebbe essere risolto per simmetria con l'asse y, ma non riesco proprio a capire perché. Dovrebbe venire 0 il risultato. Potreste aiutarmi con qualche delucidazione?
Risposte
Comincia a pensare cosa voglia dire simmetrico "rispetto" all'asse y (e non "con").
Che i punti a sinistra dell'asse y sono speculari rispetto ai punti alla sua destra.
C'è un modo matematico per esprimere questa simmetria: qual è?
Non so precisamente quale metodo matematico bisogna applicare. C'entrano qualcosa le permutazioni?
Ma tu non hai mai visto la definizione di funzione pari e funzione dispari?
Ah ok.
f(x,-y)=-f(x,y)
Questa intendi? Rispetto a y. La funzione è dispari.
f(x,-y)=-f(x,y)
Questa intendi? Rispetto a y. La funzione è dispari.
Quella che hai scritto è una simmetria rispetto all'origine, di tipo dispari (antisimmetrica). Quella rispetto all'asse delle y è la seguente
$$f(-x,y)=\pm f(x,y)$$
dove il $+$ vale per le funzioni pari e il $-$ per quelle dispari. Nel tuo caso la funzione quale delle due soddisfa?
$$f(-x,y)=\pm f(x,y)$$
dove il $+$ vale per le funzioni pari e il $-$ per quelle dispari. Nel tuo caso la funzione quale delle due soddisfa?
la mia funzione soddisfa
$ f(-x,y)=-f(x,y) $
Quindi dovrebbe essere dispari(non simmetrica)
$ f(-x,y)=-f(x,y) $
Quindi dovrebbe essere dispari(non simmetrica)
Dispari significa antisimmetrica, non "non simmetrica". Ciò vuol dire che a valori positivi di $f$ nel punto $(x,y)$ corrispondono valori negativi di $f$ nel punto $(-x,y)$ e viceversa. Ora, come puoi utilizzare questa cosa?
OK. Vedo che c'è la simmetria rispetto a y. Per ogni punto che assegno a f(x,y), f(-x,y) è sempre simmetrica rispetto a y. Perché facendo l'integrale è uguale a zero?
Prova a scrivere, esplicitamente, l'integrale, indicando gli estremi di integrazione. Dovresti accorgerti che per quanto riguarda la $y$ puoi scrivere una cosa del tipo $-a\le y\le a$. A questo punto, puoi spezzare l'integrale in due integrali con estremi $-a\le y\le 0,\ 0\le y\le a$ e usando quella proprietà di simmetria concludere.
Si, mi trovo.
$ int int_(-a)^(a) xydx dy=int int_(-a)^(0) xydx dy + int int_(0)^(a) xydx dy= intx[y^2/2]_(-a)^(0) dx + int x[y^2/2]_(0)^(a) dx= -int xa^2/2 dx + int xa^2/2 dx=0 $
Ti ringrazio e ti auguro buon anno.
$ int int_(-a)^(a) xydx dy=int int_(-a)^(0) xydx dy + int int_(0)^(a) xydx dy= intx[y^2/2]_(-a)^(0) dx + int x[y^2/2]_(0)^(a) dx= -int xa^2/2 dx + int xa^2/2 dx=0 $
Ti ringrazio e ti auguro buon anno.
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