Integrale doppio
Salve Ragazzi!
Ho un dubbio sugli estremi di integrazione relativi al seguente integrale doppio:
$\int int x/sqrt((x-1)^2+y^2) dxdy$ tenendo conto che $D= {(x,y) in RRXRR : (x-1)^2+y^2>=1, 0<=y<=sqrt3(x-1), 1<=x<=2}$
Rappresentando graficamente $D$, $(x-1)^2+y^2>=1$ mi dice di considerare la regione esterna alla circonferenza di centro
$(1,0)$ e raggio 1, con $0≤y≤√3(x−1),1≤x≤2$. Cambio le coordinate e pongo
$ x = 1 + \rho cos\theta$
$ y =\rho sen\theta$
andando a effettuare la sostituzione per la retta di equazione $y=sqrt3(x-1) $ ricavo che $\theta = pi/3$ e dunque so che $\theta$ varia nell'intervallo $[0,pi/3 ]$. Ora quello che mi rende insicura è la scelta dell'intervallo in cui varia $\rho$. Infatti il dubbio è se porre $0<= \rho <= r/cos\theta$ oppure $r<= \rho <= r/cos\theta$ ammesso che fino ad' ora il mio ragionamento risulti corretto. Ad ogni modo penso che si tratti della prima implicazione $0<= \rho <= r/cos\theta$ e pur riconoscendo che la circonferenza non abbia centro nell'origine non riesco a fornire una ragione per cui tale implicazione sia esatta.
Ho un dubbio sugli estremi di integrazione relativi al seguente integrale doppio:
$\int int x/sqrt((x-1)^2+y^2) dxdy$ tenendo conto che $D= {(x,y) in RRXRR : (x-1)^2+y^2>=1, 0<=y<=sqrt3(x-1), 1<=x<=2}$
Rappresentando graficamente $D$, $(x-1)^2+y^2>=1$ mi dice di considerare la regione esterna alla circonferenza di centro
$(1,0)$ e raggio 1, con $0≤y≤√3(x−1),1≤x≤2$. Cambio le coordinate e pongo
$ x = 1 + \rho cos\theta$
$ y =\rho sen\theta$
andando a effettuare la sostituzione per la retta di equazione $y=sqrt3(x-1) $ ricavo che $\theta = pi/3$ e dunque so che $\theta$ varia nell'intervallo $[0,pi/3 ]$. Ora quello che mi rende insicura è la scelta dell'intervallo in cui varia $\rho$. Infatti il dubbio è se porre $0<= \rho <= r/cos\theta$ oppure $r<= \rho <= r/cos\theta$ ammesso che fino ad' ora il mio ragionamento risulti corretto. Ad ogni modo penso che si tratti della prima implicazione $0<= \rho <= r/cos\theta$ e pur riconoscendo che la circonferenza non abbia centro nell'origine non riesco a fornire una ragione per cui tale implicazione sia esatta.
Risposte
Non vedo perché ti poni tanti problemi: se hai disegnato la figura, la cosa dovrebbe essere immediata. Infatti, dovendo trovarti all'esterno della circonferenza, sicuramente avrai $\rho\ge 1$ (cosa è $r$? Lo sai quanto vale il raggio, perché usare termini incogniti?). D'latro canto, sostituendo le tue coordinate nelle tre disequazioni che determinano il dominio, avrai:
$$\rho\ge 1,\quad 0\le\rho\sin\theta\le\sqrt{3}\rho\cos\theta,\quad 0\le\rho\cos\theta\le 1$$
Dal momento che per definizione $\rho\ge 0$, la seconda condizione porta a
$$0\le\tan\theta\le\sqrt{3}\ \Rightarrow\ \theta\in\left[0,\frac{\pi}{3}\right]$$
La prima e la seconda, invece, dal momento che per i valori di $\theta$ determinati assicurano che $\cos\theta>0$, portano a
$$\rho\ge 1,\qquad 0\le\rho\le\frac{1}{\cos\theta}$$
e poiché debbono valere entrambe e dal momento che, essendo $\cos\theta\le 1$ si ha $1/{\cos\theta}\ge 1$, portano a concludere che
$$1\le\rho\le\frac{1}{\cos\theta}$$
Ti faccio notare che il grafico in questo caso è molto di aiuto: poiché $\rho$, nel tuo caso, rappresenta la distanza di un punto dal centro della circonferenza da cui parti, puoi vedere facilmente che nel dominio esso è limitato inferiormente dalla circonferenza stessa (e quindi $\rho\ge 1$) mentre superiormente è la retta $x=2$ che lo limita, stavolta non in maniera costante in quanto la distanza di un punto di tale retta dal centro della circonferenza tende ad aumentare al variare dell'angolo con cui tale raggio interseca la retta stessa. Poiché in coordinate polari la retta diventa
$$1+\rho\cos\theta=2\ \Rightarrow\ \rho=\frac{1}{\cos\theta}$$
quest'ultima è la limitazione superiore.
Spero sia chiaro.
$$\rho\ge 1,\quad 0\le\rho\sin\theta\le\sqrt{3}\rho\cos\theta,\quad 0\le\rho\cos\theta\le 1$$
Dal momento che per definizione $\rho\ge 0$, la seconda condizione porta a
$$0\le\tan\theta\le\sqrt{3}\ \Rightarrow\ \theta\in\left[0,\frac{\pi}{3}\right]$$
La prima e la seconda, invece, dal momento che per i valori di $\theta$ determinati assicurano che $\cos\theta>0$, portano a
$$\rho\ge 1,\qquad 0\le\rho\le\frac{1}{\cos\theta}$$
e poiché debbono valere entrambe e dal momento che, essendo $\cos\theta\le 1$ si ha $1/{\cos\theta}\ge 1$, portano a concludere che
$$1\le\rho\le\frac{1}{\cos\theta}$$
Ti faccio notare che il grafico in questo caso è molto di aiuto: poiché $\rho$, nel tuo caso, rappresenta la distanza di un punto dal centro della circonferenza da cui parti, puoi vedere facilmente che nel dominio esso è limitato inferiormente dalla circonferenza stessa (e quindi $\rho\ge 1$) mentre superiormente è la retta $x=2$ che lo limita, stavolta non in maniera costante in quanto la distanza di un punto di tale retta dal centro della circonferenza tende ad aumentare al variare dell'angolo con cui tale raggio interseca la retta stessa. Poiché in coordinate polari la retta diventa
$$1+\rho\cos\theta=2\ \Rightarrow\ \rho=\frac{1}{\cos\theta}$$
quest'ultima è la limitazione superiore.
Spero sia chiaro.
"ciampax":
Non vedo perché ti poni tanti problemi: se hai disegnato la figura, la cosa dovrebbe essere immediata. Infatti, dovendo trovarti all'esterno della circonferenza, sicuramente avrai $\rho\ge 1$ (cosa è $r$? Lo sai quanto vale il raggio, perché usare termini incogniti?).
Ciao Ciampax, quello che hai scritto è chiarissimo. Effettivamente avrei potuto cambiare il valore del raggio così come ho fatto nella scelta delle coordinate. Tuttavia facendo riferimento al mio libro di testo di Analisi Matematica II, ho preso ad esempio un esercizio simile che afferma che esistono due metodi per calcolare l'integrale esteso al solo cerchio di centro (r,0) e raggio r positivo. Mi spiego: il primo metodo utilizza la trasformazione in coordinate polari con centro in (r,0) e quindi con $0<\theta<2pi$ e $0<=p<=r$ e $ x=1+ρcosθ ; y=ρsenθ$; il secondo metodo invece consiste nel rappresentare il cerchio con le usuali coordinate polari di centro (0,0), quindi porre $-pi/2<\theta
In genere, quando hai a che fare con circonferenze non centrate nell'origine, è sempre meglio prendere come trasformazione la seguente $x=a+\rho\cos\theta,\ y=b+\rho\sin\theta$ essendo $C(a,b)$ il centro della circonferenza. Usare il metodo delle usuali coordinate secondo me complica di molto il calcolo degli estremi (in generale, devi trovare $\rho$ in funzione di $\theta$) e in ogni caso conviene sempre farsi aiutare dal grafico per non incappare in errori.
Metodi alternativi, volendo ce ne sono: avresti anche potuto lasciare tutto in coordinate cartesiane e considerare come estremi per il dominio le seguenti limitazioni
$$x\in\left[\frac{3}{2},2\right],\qquad \sqrt{1-(x-1)^2}\le y\le \sqrt{3}(x-1)$$
in quanto il dominio è normale rispetto ad $x$ e il punto $(3/2,\sqrt{3}/2)$ è l'intersezione tra la circonferenza e la retta.
In ogni caso, io propendo sempre per le sostituzioni in coordinate polari che ti ho esposto prima.
Metodi alternativi, volendo ce ne sono: avresti anche potuto lasciare tutto in coordinate cartesiane e considerare come estremi per il dominio le seguenti limitazioni
$$x\in\left[\frac{3}{2},2\right],\qquad \sqrt{1-(x-1)^2}\le y\le \sqrt{3}(x-1)$$
in quanto il dominio è normale rispetto ad $x$ e il punto $(3/2,\sqrt{3}/2)$ è l'intersezione tra la circonferenza e la retta.
In ogni caso, io propendo sempre per le sostituzioni in coordinate polari che ti ho esposto prima.
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