Integrale doppio

[albertom]

Ciao, volevo chiedervi un aiuto

Calcolare, se esiste,

$\int\int_T (xy) dx dy$ ,

con $T = {(x,y) in R^2 : y <= 0, x^2+y^2 <=1, y <=x}$

Non so come partire anche sapendo le formule per la riduzione degli integrali doppi

Vi ringrazio

[vict85]

\(T\) è lo spicchio di cerchio unitario da \(\displaystyle \frac{5\pi}{4}\) a \(\displaystyle 2\pi\). Puoi trasformare in forma polare.

[albertom]

SI, per quanto riguarda lo spicchio ero riuscito a disegnarlo ma ora come procedo? e come trasformo in coordinate polari?

C'è qualcuno disponibile a farmi vedere i passaggi?

Grazie

[vict85]

A me viene:

\[\int_{0}^1 r^3\int_{\frac{5\pi}{4}}^{2\pi} \sin\vartheta\cos\vartheta\,d\vartheta\,dr\]

Usando la semplice formula

\[\iint_T f(x,y)\,dx\,dy = \iint_T f(r,\vartheta )r\,dr\,d\vartheta\]


Da qui in poi non dovrebbe essere difficile.

[albertom]

Quindi considero

$x= r cos\theta$

$y= r sin\theta$

e riscrivo l'integrale come

$\int\int_T (r cos\theta * r sin\theta * r ) d\theta dr $

Giusto?

E per quanto riguarda gli estremi di integrazione considero

$0$ e $1 $ per l'integrale senza l'angolo e

$5/4Pi$ e $2Pi$ per l'integrale con l'angolo (Dato che da $5/4Pi$ a $2Pi$ è la parte di piano che soddisfa le condizioni iniziali)?

[vict85]

Si, ma sono cose che avresti dovuto studiare nella teoria.

Per la risoluzione ha dominio normale (o semplice a seconda di come lo chiami) quindi consideri le variabili come separate e si tratta di risolvere due integrali.

P.S.: Uno dei 3 r è il jabobiano della trasformazione.

[albertom]

Si si infatti, era per avere una conferma e si avevo capito che una r era il jacobiano (ho la formula generale sotto mano)

Ti ringrazio per le spiegazioni