Integrale doppio

[Seven90]

Salve, so che sto per presentare un esercizio banale ma credetemi non riesco a capire come svolgerlo:
$\int (xy)/(x^2+y^2) dx dy$ sul dominio $D={1<=xy<=2,x<=y<=2x}$
Guardandolo a primo impatto mi vien da pensare che basti operare una sostituzione, ma non riesco a capire quale.

[Noisemaker]

Per il calcolo dell'integrale
\begin{align}
\iint_{D}\frac{xy}{x^2+y^2}\,\,dxdy,\qquad D:=\{(x;y)\in\mathbb{R}^2 : 1\le xy\le2,\,\,\, x\le y \le2x\},
\end{align}
è opportuno anzitutto farsi un disegno del dominio $D:$

Il disegno, come d'altra parte le relazioni algebriche che lo definiscono, suggeriscono una sosituzione del tipo
\[xy=u,\qquad\frac{y}{x}=v,\]
in modo tale che il quadrilatero curvo che definisce il dominio $D$ si trasformi in un quadrato $D'$ su cui è più facile calcolare l'integrale:

Con tale sostituzione l'integrale diviene:
\begin{align}
\iint_{D}\frac{xy}{x^2+y^2}\,\,dxdy=\iint_{D'}\frac{v}{1+v^2} \,\,\left|\det J_{u,v}\right|\,\,dudv,\qquad D':=\{(u;v)\in\mathbb{R}^2 : 1\le u\le2,\,\,\, 1\le v\le2,\};
\end{align}
essendo
\begin{align}\begin{cases}
xy=u\\\frac{y}{x}=v
\end{cases}\qquad\Rightarrow\qquad\begin{cases} x=\sqrt{\frac{u}{v}}\\ y=\sqrt{uv}\end{cases},
\end{align}
calcolando il fattore di trasformazione si ha che
\begin{align}
\left|\det J_{u,v}\right|=\left|\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix} \frac{1}{2\sqrt u\sqrt v} & -\frac{\sqrt u}{2\sqrt{v^3}} \\ \frac{\sqrt v}{2\sqrt u} & \frac{\sqrt u}{2\sqrt v}
\end{matrix}\right|=\left| 5/4 v\right|= 5/4 v,
\end{align}
e quindi, a meno di errori di calcolo, l'integrale diventa:
\begin{align}
\iint_{D'}\frac{v}{1+v^2} \,\,\left|\det J_{u,v}\right|\,\,dudv= 5/4\iint_{D'}\frac{v^2}{1+v^2} \,\,dudv=5/4\int_{u=1}^2\left(\int_{v=1}^{2}\frac{v^2}{1+v^2} \,\,dv \right)du.
\end{align}