Integrale doppio
Ciao devo risolvere questo integrale doppio e mi viene difficile passare alle coordinate polari.
Potreste spiegarmi come fare ... Grazie in anticipo
$ int int_()^() (x^2+y^2)dx dy $
nel dominio
D = $ {(x,y)in R^2 : x^2+y^2<= 4, y<= 2x} $
Potreste spiegarmi come fare ... Grazie in anticipo
$ int int_()^() (x^2+y^2)dx dy $
nel dominio
D = $ {(x,y)in R^2 : x^2+y^2<= 4, y<= 2x} $
Risposte
E ma in coordinate polari si risolve facilmente. Con altri metodi viene molto più complicato. Sicuramente chi ti ha assegnato l'esercizio ha pensato di fartelo risolvere così.
Ti devi fare un disegno del dominio, così ti rendi conto di come parametrizzarlo in coordinate polari.
Ti devi fare un disegno del dominio, così ti rendi conto di come parametrizzarlo in coordinate polari.
allora per la circonferenza saprai benissimo sicuramente che la rappresentazione in cordinate polari è data:
$ { ( x=rhocostheta ),( y=rhosintheta ):} $ e lo jacobiano è dato da rho.
be quindi basta sostituire i valori a questo punto e ottieni : $ rho^2=4==> rho=2 $
per quanto riguarda il punto di intersezione di interesse semplice anche questo: $ rhosintheta=2rhocostheta $ e quindi facendo un po' di passaggini semplici arrivi a: $ theta=artg(2) $ ti torna?? a questo pundo D sarà: $ { ( 0<=theta<=artg(2) ),( 0<=rho<=2 ):} $
$ { ( x=rhocostheta ),( y=rhosintheta ):} $ e lo jacobiano è dato da rho.
be quindi basta sostituire i valori a questo punto e ottieni : $ rho^2=4==> rho=2 $
per quanto riguarda il punto di intersezione di interesse semplice anche questo: $ rhosintheta=2rhocostheta $ e quindi facendo un po' di passaggini semplici arrivi a: $ theta=artg(2) $ ti torna?? a questo pundo D sarà: $ { ( 0<=theta<=artg(2) ),( 0<=rho<=2 ):} $
ti imposto anche il calcolo dai 
ma solo per oggi che non ho nulla da fare :
$ int_(0)^(artg(2)) d theta int_(0)^(2) (rho^2*rho) d rho $
lascio a te il risultato che è già praticamente scritto
ma solo per oggi che non ho nulla da fare :$ int_(0)^(artg(2)) d theta int_(0)^(2) (rho^2*rho) d rho $
lascio a te il risultato che è già praticamente scritto
non ho capito solo come calcolare teta.
Per il resto è tutto ok
Per il resto è tutto ok
sempre per sostituzione diretta allora:
y=2x quindi : $ rhosintheta=2costheta==>tantheta=2==>theta=arctan(2) $
ci sei ora??
y=2x quindi : $ rhosintheta=2costheta==>tantheta=2==>theta=arctan(2) $
ci sei ora??
Ma sei sicuro degli estremi di $\theta$? Il dominio quindi sarebbe una fetta di torta? Ma questo è chiaramente sbagliato. Il dominio è un semicerchio, e quindi $\theta$ deve spazzare un angolo piatto.
Non è meglio fare un disegno invece di fare conti a macchinetta?
Non è meglio fare un disegno invece di fare conti a macchinetta?
non sto capendo piu nulla xD
@ MasterCud:
Ecco, vedi... Se non hai nulla da fare, è meglio che tu vada a ripassare qualcosa di Analisi II prima di incasinare gli studi altrui.
@ Benten22:
Il problema è rappresentare il dominio \(D\) individuato dalle limitazioni \(x^2+y^2\leq 4\) ed \(y\leq 2x\).
Ora, la prima disuguaglianza ti dice che i punti di \(D\) appartengono al cerchio di centro \((0,0)\) e raggio \(2\); mentre la seconda disuguaglianza ti dice che i punti di \(D\) stanno nel semipiano sotto la retta di equazione \(y=2x\).
Disegnando si vede che \(D\) è il dominio il cui contorno è evidenziato in figura:
[asvg]xmin=-2;xmax=2; ymin=-2;ymax=2;
axes("","");
stroke="lightgrey"; circle([0,0],2); plot("2x",-3,3);
stroke="red"; strokewidth=2; arc([-0.894,-1.79],[0.894,1.79],2); line([0.894,1.79],[-0.894,-1.79]);[/asvg]
Conseguentemente, il dominio di integrazione è polare rispetto all'origine.
Il modulo \(\rho\) del generico punto che sta dentro \(D\) non supera il raggio del cerchio, ergo \(0\leq \rho \leq 2\). D'altra parte, l'anomalia \(\theta\) del generico punto di \(D\) è compresa tra le anomalie \(\theta_1<\theta_2\) delle due semirette che delimitano \(D\) (la prima nel terzo, la seconda nel primo quadrante); tali semirette giacciono sulla stessa retta, perciò esse hanno anomalie che differiscono di \(\pi\); la semiretta che si trova nel primo quadrante ha anomalia uguale all'arcotangente del coefficiente angolare della retta su cui essa giace, ergo \(\theta_2=\arctan 2\); invece, la semiretta che si trova nel terzo quadrante ha anomalia \(\theta_1=\theta_2- \pi=\arctan 2 - \pi\).
Quindi, il dominio \(D\) è rappresentato in polari dalle limitazioni \(0\leq \rho\leq 2\) e \(\arctan 2 -\pi \leq \theta \leq \arctan 2\).
Notato ciò, il calcolo dell'integrale non è poi difficile.
"MasterCud":
ti imposto anche il calcolo dai
$ int_(0)^(artg(2)) d theta int_(0)^(2) (rho^2*rho) d rho $
lascio a te il risultato che è già praticamente scritto
Ecco, vedi... Se non hai nulla da fare, è meglio che tu vada a ripassare qualcosa di Analisi II prima di incasinare gli studi altrui.
@ Benten22:
Il problema è rappresentare il dominio \(D\) individuato dalle limitazioni \(x^2+y^2\leq 4\) ed \(y\leq 2x\).
Ora, la prima disuguaglianza ti dice che i punti di \(D\) appartengono al cerchio di centro \((0,0)\) e raggio \(2\); mentre la seconda disuguaglianza ti dice che i punti di \(D\) stanno nel semipiano sotto la retta di equazione \(y=2x\).
Disegnando si vede che \(D\) è il dominio il cui contorno è evidenziato in figura:
[asvg]xmin=-2;xmax=2; ymin=-2;ymax=2;
axes("","");
stroke="lightgrey"; circle([0,0],2); plot("2x",-3,3);
stroke="red"; strokewidth=2; arc([-0.894,-1.79],[0.894,1.79],2); line([0.894,1.79],[-0.894,-1.79]);[/asvg]
Conseguentemente, il dominio di integrazione è polare rispetto all'origine.
Il modulo \(\rho\) del generico punto che sta dentro \(D\) non supera il raggio del cerchio, ergo \(0\leq \rho \leq 2\). D'altra parte, l'anomalia \(\theta\) del generico punto di \(D\) è compresa tra le anomalie \(\theta_1<\theta_2\) delle due semirette che delimitano \(D\) (la prima nel terzo, la seconda nel primo quadrante); tali semirette giacciono sulla stessa retta, perciò esse hanno anomalie che differiscono di \(\pi\); la semiretta che si trova nel primo quadrante ha anomalia uguale all'arcotangente del coefficiente angolare della retta su cui essa giace, ergo \(\theta_2=\arctan 2\); invece, la semiretta che si trova nel terzo quadrante ha anomalia \(\theta_1=\theta_2- \pi=\arctan 2 - \pi\).
Quindi, il dominio \(D\) è rappresentato in polari dalle limitazioni \(0\leq \rho\leq 2\) e \(\arctan 2 -\pi \leq \theta \leq \arctan 2\).
Notato ciò, il calcolo dell'integrale non è poi difficile.
"gugo82":
Ecco, vedi... Se non hai nulla da fare, è meglio che tu vada a ripassare qualcosa di Analisi II prima di incasinare gli studi altrui.
Sono d'accordo con te!!!adesso ero convinto non so per quale ragione che ci fosse anche il vincolo $ y>=0 $ $ x>=0 $ e che quindi tutto si limitasse al primo quadrante (poco prima ne avevo svolto uno così non per altro, trattasi dunque di lapsus, mene capitano tanti ultimamente
) 
chiedo scusa!!
grazie mille
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