Integrale doppio
Ciao a tutti, il mio integrale è il seguente: $ int_Kx/(x^2+y^2) dy dx $ con $ K={x^2+y^2>=2y, 0<=x<=1,x/sqrt(3)<=y<=x} $
ora passo a coordinate polari centrate in $(0,1)$ e l'integrale diventa $ int_(0)^(-pi/6)cos\thetad\theta int_1^(1/cos\theta)1/(1+\rho^2+2\rhosin\theta) d\rho $
a cui poi dovrei togliere un "triangolino"... ora l'integrale di rho come lo svolgo?
ora passo a coordinate polari centrate in $(0,1)$ e l'integrale diventa $ int_(0)^(-pi/6)cos\thetad\theta int_1^(1/cos\theta)1/(1+\rho^2+2\rhosin\theta) d\rho $
a cui poi dovrei togliere un "triangolino"... ora l'integrale di rho come lo svolgo?
Risposte
Il triangolino lo puoi anche togliere nelle coordinate originali, no ? 
Sei sicuro però di questo triangolino ? Hai scritto bene le formule ?
Sei sicuro però di questo triangolino ? Hai scritto bene le formule ?
mmm in effetti nell'integrale $d\rho$ manca un $rho$ a numeratore, per il resto sì sono sicuro 
$ int_(0)^(-pi/6)cos\thetad\theta int_1^(1/cos\theta)\rho/(1+\rho^2+2\rhosin\theta) d\rho $
$ int_(0)^(-pi/6)cos\thetad\theta int_1^(1/cos\theta)\rho/(1+\rho^2+2\rhosin\theta) d\rho $
è corretto in questo modo? mi sembra che viene un risultato assurdo però... 
Sai cosa? E' che a me pare un po' ridondante la definzione di $K$ in quel modo. Siamo sicuri che la prima condizione non sia $x^2+y^2\le 2y$?
sì è col maggiore uguale $x^2+y^2>=2y$
EDIT: pensavo avessi sbagliato invece no era giusto
si si maggiore uguale! il dominio alla fine viene una specie di triangolino fuori dal cerchio
EDIT: pensavo avessi sbagliato invece no era giusto
si si maggiore uguale! il dominio alla fine viene una specie di triangolino fuori dal cerchio
Va bene, questo vuol dire che, in maniera molto più semplice, l'insieme è definito come segue (vedendolo normale rispetto ad $y$)
$$K=\left\{1/\sqrt{3}\le y\le 1,\qquad \sqrt{y^2-2y}\le x\le 1\right\}$$
Se a questo punto riscrivi l'integrale così
$$\int_{1/\sqrt{3}}^1\left(\int_{\sqrt{y^2-2y}}^1\frac{x}{x^2+y^2}\ dx\right)\ dy$$
dovrebbe venire molto semplice da calcolare, senza passare a coordinate polari.
$$K=\left\{1/\sqrt{3}\le y\le 1,\qquad \sqrt{y^2-2y}\le x\le 1\right\}$$
Se a questo punto riscrivi l'integrale così
$$\int_{1/\sqrt{3}}^1\left(\int_{\sqrt{y^2-2y}}^1\frac{x}{x^2+y^2}\ dx\right)\ dy$$
dovrebbe venire molto semplice da calcolare, senza passare a coordinate polari.
mmm si giusto, strano in effetti mi sembrava tutto fatto apposta per passare a coordinate polari invece così diventa più semplice, questo è solo un pezzo vero? l'altro comunque è molto simile
invece così diventa più semplice, questo è solo un pezzo vero? l'altro comunque è molto simile
Quale altro? Quello è l'unico integrale che viene fuori.
disegnando il dominio c'è un altro pezzetto che manca... con $1/2<=y<=1/sqrt(3)$ e $sqrt(y^2-2y)<=x<=sqrt(3)y$... almeno così sembra dal mio disegno
Ah sì, scusa, non so perché guardavo il tutto come se fosse parallelo agli assi e non mi rendevo conto che le rette fossero orientate in modo diverso. Effettivamente si ha
$K=\{1/\sqrt{3}\le y\le 1,\ \sqrt{y^2-2y}\le x\le 1\}\ \cup\ \{1/2\le y\le 1/\sqrt{3},\ \sqrt{y^2-2y}\le x\le \sqrt{3}\, y\}$
$K=\{1/\sqrt{3}\le y\le 1,\ \sqrt{y^2-2y}\le x\le 1\}\ \cup\ \{1/2\le y\le 1/\sqrt{3},\ \sqrt{y^2-2y}\le x\le \sqrt{3}\, y\}$
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