Integrale doppio

[7ania92]

Salve a tutti,
ho svolto il seguente integrale doppio $int y^3dxdy$ nel dominio delimitato dall'asse x, dalla retta $y=-x+2$ e dalla semicirconferenza $x^2+y^2-2y=0$, $x>=0$.
L'ho svolto in più modi, cambiamento di variabili ,coordinate polari, frontiera del dominio e in tutti i casi alla fine ottengo un integrale abbastanza lungo e complicato, non dico impossibile, ma comunque molto complicato. E' possibile? Oppure c'è un modo più semplice per risolverlo?
Grazie mille a tutti!

[Quinzio]

E' lungo si, ma non impossibile. GaussGreen non credo che aiuti.

Si può intanto traslare la circonferenza e piazzarla nell'origine.

Diventa:

$I=\int (y+1)^3\ dx\ dy, \ \ \ (x,y)\inRR^2: x^2+y^2<1, y>1-x$

Quindi si può calcolare l'integrale come differenza di due domini:
- dominio B: $x^2+y^2<1, y>0, x>0$
- dominio C: $y<1-x, y>0, x>0$

Allora $I=I_B-I_C=\int_0^1\int_0^(\pi/2) \rho(\rhosin\theta+1)^3\ d\theta\ d\rho-\int_0^1\int_0^(1-x)(y+1)^3\ dy\ dx$

In primo integrale

$I_B=\int_0^1\int_0^(\pi/2) \rho(\rhosin\theta+1)^3\ d\theta\ d\rho=$

$=\int_0^1\int_0^(\pi/2) (\rho^4sin^3\theta+3\rho^3sin^2\theta+3\rho^2sin\theta+\rho)\ d\theta\ d\rho=$

$=\int_0^1\int_0^(\pi/2) (\rho^4sin\theta(1-cos^2\theta)+3\rho^3(1-cos(2\theta)/2)+3\rho^2sin\theta+\rho)\ d\theta\ d\rho$

si calcola separatamente ogni addendo che si può calcolare separatamente in $\rho$ e in $\theta$

Il secondo integrale $I_C$ non è difficile.