Integrale doppio
Salve a tutti!
Avrei un dubbio, stavo svolgendo il seguente integrale:
$intsqrt(x^2+y^2)dxdy $ nel dominio $D={(x,y)| x^2+y^2 -2y<=0}$.
Ho applicato la trasformazione $x= rhocos(t), y=1+rhosen(t)$ facendo variare $rho$ in $[0,1]$ e $vartheta$ in $[0,2pi]$.
Quindi ho risolto $int_0^1 int_0^(2pi) rho^2 dvartheta drho$.
Va bene così??
Grazie mille a tutti!
Avrei un dubbio, stavo svolgendo il seguente integrale:
$intsqrt(x^2+y^2)dxdy $ nel dominio $D={(x,y)| x^2+y^2 -2y<=0}$.
Ho applicato la trasformazione $x= rhocos(t), y=1+rhosen(t)$ facendo variare $rho$ in $[0,1]$ e $vartheta$ in $[0,2pi]$.
Quindi ho risolto $int_0^1 int_0^(2pi) rho^2 dvartheta drho$.
Va bene così??
Grazie mille a tutti!
Risposte
Non va bene perchè il cerchio in questione è definito dall' equazione \(\displaystyle x^2-(y-(-1))^2=1 \)
Quindi hai sbagliato la trasformazione per la y, inoltre io starei attento alla sostituzione che effettui per l'integranda
Quindi hai sbagliato la trasformazione per la y, inoltre io starei attento alla sostituzione che effettui per l'integranda
"Wormhole":
Non va bene perchè il cerchio in questione è definito dall' equazione \(\displaystyle x^2-(y-(-1))^2=1 \)
Quindi hai sbagliato la trasformazione per la y, inoltre io starei attento alla sostituzione che effettui per l'integranda
Si, mi sono accorta di aver sbagliato a sostituire nell'integrale e che mi stavo complicando la vita!
Ho provato a sistemare così: $x=rhocostheta$ e $y=rhosintheta$, con $theta$ in $[0,pi]$ e $rho$ in $[0,2sintheta]$, e la sostituzione nell'integrale questa volta è quella che ho scritto.
Può andar bene?
Certo va benissimo.
Però ti faccio notare che si solito si può ovviare al problema con una traslazione, imponendo le ovvie condizioni x=u e y=v+1, lo jacobiano è 1 e quindi ti ricondurresti ad un nuovo sistema di riferimento u e v in cui il cerchio avrebbe avuto l'origine nel centro negli assi.
E da qui effettuare le normali sostituzioni in cordinate polari trovandoti i classici estremi di integrazione 0,1 per p e 0,2 pi per theta.
Ovviamente in questo caso il tuo è OK, però va bene se ti ricordi che lo jcobiano è sempre 1 per ogni traslazione, cosi la prossima volta in un caso analogo potrebbe essere immediata la sostituzione
Però ti faccio notare che si solito si può ovviare al problema con una traslazione, imponendo le ovvie condizioni x=u e y=v+1, lo jacobiano è 1 e quindi ti ricondurresti ad un nuovo sistema di riferimento u e v in cui il cerchio avrebbe avuto l'origine nel centro negli assi.
E da qui effettuare le normali sostituzioni in cordinate polari trovandoti i classici estremi di integrazione 0,1 per p e 0,2 pi per theta.
Ovviamente in questo caso il tuo è OK, però va bene se ti ricordi che lo jcobiano è sempre 1 per ogni traslazione, cosi la prossima volta in un caso analogo potrebbe essere immediata la sostituzione
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