Integrale doppio

[emiliomadonia]

Calcola [tex]\iint\limits_A {(2x + y)dxdy}[/tex]
Dove A è la regione di piano compresa fra i grafici di [tex]x^2[/tex] e [tex]{x}[/tex] con [tex]0 \leqslant x \leqslant 2[/tex].

Dopo aver disegnato gli insiemi , vedo che sono due e sono verticalmente che orizzontalmente convessi , quindi integro per verticali . ( Non so come rappresentare il grafico qui sul forum ) .

[tex]\begin{align}\iint\limits_A {(x + 2y)dxdy} &= \iint\limits_{{A_1}} {(x + 2y)dxdy + \iint\limits_{{A_2}} {(x + 2y)dxdy}} \\
&= \int\limits_0^1 {dx\int\limits_{{x^2}}^x {(x + 2y)dy + \int\limits_1^2 {dx} } } \int\limits_x^{{x^2}} {(x + 2y)dy}\end{align}[/tex]
Vi sembra corretto questo procedimento?

[Brancaleone1]

Cioè la regione $A$ considerata sarebbe in realtà l'unione dei due insiemi $A_1$ e $A_2$:

$A=A_1 cup A_2$ dove

$A_1=\{(x,y) in RR : x<=y<=x^2 , 1<=x<=2\}$

$A_2=\{(x,y) in RR : x^2<=y<=x , 0<=x<=1\}$ ?

Perché altrimenti non saprei cosa tu intenda quando affermi

"matr1x02":
Dopo aver disegnato gli insiemi , vedo che sono due [...]

[emiliomadonia]

Si, solamente che non viene il risultato corretto...

[Brancaleone1]

Ok.
Puoi postare i conti che hai fatto? Così possiamo vedere insieme il procedimento che hai adottato.

EDIT: ma l'integrale è $int int_A (2x+y)dx dy$ oppure $int int_A (x+2y)dx dy$ ?

[emiliomadonia]

"Brancaleone":Ok.
Puoi postare i conti che hai fatto? Così possiamo vedere insieme il procedimento che hai adottato.

$$\iint\limits_{{A_1}} {f(x,y)dxdy}$$= $$\int\limits_0^1 {xdx\left[ {{y^2}} \right]_{{x^2}}^x = \int\limits_0^1 {({x^3} - {x^5})dx = } } \left[ {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^6}}}{6}} \right]_0^1 = \frac{1}{{12}}$$
$$\iint\limits_{{A_2}} {f(x,y)dxdy}$$=$$\iint\limits_{{A_2}} {f(x,y)dxdy} = \int\limits_1^2 {dx\int_x^{{x^2}} {(x + 2y)dy = } } \int\limits_1^2 {(x[{y^2}} ]_x^{{x^2}})dx = \int\limits_1^2 {({x^5}} - {x^3})dx = (...) = \frac{{81}}{{12}}$$

Però il risultato corretto è :

$$\iint\limits_{{A_{}}} {f(x,y)dxdy} = \frac{{11}}{2} \ne \frac{{82}}{{12}}$$

[emiliomadonia]

"Brancaleone":

EDIT: ma l'integrale è $int int_A (2x+y)dx dy$ oppure $int int_A (x+2y)dx dy$ ?

L'integrale è x+2y , scusa ho sbagliato a scrivere all'inizio

[Brancaleone1]

Ti sei confuso nei primi passaggi:

$int_0^1 int_(x^2)^x (x+2y)dy dx = int_0^1x[y]_(x^2)^x+[y^2]_(x^2)^x dx=int_0^1 (x^2-x^3) + (x^2-x^4) dx=$

$=int_0^1 (2x^2-x^3-x^4) dx = [2/3x^3-x^4/4-x^5/5]_0^1=13/60$

$int_1^2 int_x^(x^2) (x+2y)dy dx=int_1^2 x[y]_x^(x^2)+[y^2]_x^(x^2) dx=int_1^2 (x^3-x^2)+(x^4-x^2) dx=$

$int_1^2 (x^4+x^3-2x^2) dx = [x^5/5+x^4/4-2/3x^3]_1^2= 317/60$

Mettendo insieme:

$int int_A(x+2y)dx dy = 11/2$

[emiliomadonia]

Che errore , hai ragione. Ho considerato x+2y come se fosse un prodotto e quindi portavo fuori la x come se fosse costante. Mea culpa , grazie mille.

[Brancaleone1]

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