Integrale doppio

[Daddarius1]

Ho $ int int_()arcatn(x+y) dx dy $ integrato sul dominio $0<=x<=1$ e $0<=y<=x$. Ho pensato di fare un cambio di variabile del tipo $u=x+y$ e $v=y$. Che ne pensate? credo che sia necessario.

[Quinzio]

Io mi spingerei ancora un passo oltre e trasformerei con $u=x+y$ e $v=x-y$

L'integrale diventa con jacobiano $1/2$

$1/2{\int_(0)^(1) u\arctanu\ du + \int_(1)^2 (2-u)\arctanu\ du}$


$\int u \arctanu = 1/2u^2\arctanu-\int 1/2 (u^2)/(1+u^2)du = 1/2 [(u^2+1)arctanu-u]$

$\int \arctanu du = u\arctanu -\int(u)/(1+u^2)=u \arctanu -1/2log(1+u^2)$

Quindi mettendo insieme tutti i pezzi:

$1/4 [(u^2+1)arctanu-u]_0^1=1/4[\pi/2-1]$

$-1/4 [(u^2+1)arctanu-u]_1^2=-1/4[5\arctan2-\pi/2-1]$

$u \arctanu -1/2log(1+u^2)|_1^2=2\arctan2+log(\sqrt(2/5))-\pi/4$

Sommando tutto direi che viene:

$\int_0^1 \int_0^y arctan(x+y)\ dy\ dx = 1/8(-2arctan2 + \pi +2log(2/5))$

[Daddarius1]

"Quinzio":Io mi spingerei ancora un passo oltre e trasformerei con $u=x+y$ e $v=x-y$

L'integrale diventa con jacobiano $1/2$

$1/2{\int_(0)^(1) u\arctanu\ du + \int_(1)^2 (2-u)\arctanu\ du}$


$\int u \arctanu = 1/2u^2\arctanu-\int 1/2 (u^2)/(1+u^2)du = 1/2 [(u^2+1)arctanu-u]$

$\int \arctanu du = u\arctanu -\int(u)/(1+u^2)=u \arctanu -1/2log(1+u^2)$

Quindi mettendo insieme tutti i pezzi:

$1/4 [(u^2+1)arctanu-u]_0^1=1/4[\pi/2-1]$

$-1/4 [(u^2+1)arctanu-u]_1^2=-1/4[5\arctan2-\pi/2-1]$

$u \arctanu -1/2log(1+u^2)|_1^2=2\arctan2+log(\sqrt(2/5))-\pi/4$

Sommando tutto direi che viene:

$\int_0^1 \int_0^y arctan(x+y)\ dy\ dx = 1/8(-2arctan2 + \pi +2log(2/5))$

Non ci sarei arrivato in tempi brevi a questa sostituzione.

[Daddarius1]

"Quinzio":Io mi spingerei ancora un passo oltre e trasformerei con $u=x+y$ e $v=x-y$

L'integrale diventa con jacobiano $1/2$

$1/2{\int_(0)^(1) u\arctanu\ du + \int_(1)^2 (2-u)\arctanu\ du}$


$\int u \arctanu = 1/2u^2\arctanu-\int 1/2 (u^2)/(1+u^2)du = 1/2 [(u^2+1)arctanu-u]$

$\int \arctanu du = u\arctanu -\int(u)/(1+u^2)=u \arctanu -1/2log(1+u^2)$

Quindi mettendo insieme tutti i pezzi:

$1/4 [(u^2+1)arctanu-u]_0^1=1/4[\pi/2-1]$

$-1/4 [(u^2+1)arctanu-u]_1^2=-1/4[5\arctan2-\pi/2-1]$

$u \arctanu -1/2log(1+u^2)|_1^2=2\arctan2+log(\sqrt(2/5))-\pi/4$

Sommando tutto direi che viene:

$\int_0^1 \int_0^y arctan(x+y)\ dy\ dx = 1/8(-2arctan2 + \pi +2log(2/5))$

Posso vedere esplicitamente il passaggio per calcolare i nuovi estremi d'integrazione? Sono arrivato a $x= u/2 + v/2$ $y=u/2 - v/2$ e quindì ho $0<=u+v<=2$ $v>=0$. Perchè poi nell'integrale non compare il dv?

[Daddarius1]

up

[Quinzio]

Non ho visto il tuo post, non è che non voglio rispondere.

Metto un disegno così è più chiaro



Nel disegno ci sono gli assi x,y e i nuovi assi u,v.
Nel riferimento xy si può integrare con un solo integrale, perchè i bordi del triangolo sono $y=x, y=0, x=1$.
Nel riferimento uv i bordi diventano $v=0, u=v, v=2-u$. Guardando un po' il triangolo nel rif. uv appare chiaro che bisogna fare due integrali separati.
Ne faccio uno, un semi-triangolo, quello riempito di giallo, per l'altro il discorso è simile.
Nel rif. uv l'integrale diventa:

$\int_0^1 \int_0^u arctan(u)\ dv\ du $

Il primo integrale (quello interno) è immediato:

$\int_0^1 (arctan(u)) v|_0^u \ du = \int_0^1 u arctan(u) du $

e poi il resto.

Le trasformazioni sono $u=x+y,\ v=x-y$. Puoi anche mettere le frazioni $1/2$ ma incasinano un po' tutto. E' meglio fare lo jacobiano che mette a posto tutto e uno lavora senza coefficienti $1/2$.