Integrale doppio
Ciao,mi servirebbe un aiuto con questo esercizio:
Calcolare l'integrale:
$\int int_D (x-1)/((x-1)^2+y^2) dx dy$ sul seguente dominio $D$:
$D = {(x, y) : (x − 1)^2 + y^2 ≥ 1; 0 ≤ y ≤sqrt3(x − 1); 1 ≤ x ≤ 2}$
Ho provato a disegnare il dominio ed è rappresentato da un triangolo a cui manca un settore circolare.Avevo pensato di svolgerlo in coordinate polari ma non ne vengo a capo.
Grazie a tutti per l'aiuto.
Calcolare l'integrale:
$\int int_D (x-1)/((x-1)^2+y^2) dx dy$ sul seguente dominio $D$:
$D = {(x, y) : (x − 1)^2 + y^2 ≥ 1; 0 ≤ y ≤sqrt3(x − 1); 1 ≤ x ≤ 2}$
Ho provato a disegnare il dominio ed è rappresentato da un triangolo a cui manca un settore circolare.Avevo pensato di svolgerlo in coordinate polari ma non ne vengo a capo.
Grazie a tutti per l'aiuto.
Risposte
Ti suggerisco di passare in coordinate polari utilizzando una traslazione (sia per come è fatto il dominio sia per come è fatto il denominatore).
\[
x = 1 + r \cos(t) \\
y = r\sin(t)
\]
Da $(x − 1)^2 + y^2\geq1$ hai che $r\geq1$.
Da $0\leqy\leqsqrt3(x − 1)$ ottieni che
\[
0 \leq r\sin(t) \leq \sqrt{3}(1+r\cos(t)-1) \\
0 \leq \sin(t) \leq \sqrt{3}\cos(t)
\]
Da cui ricavi che $sin(t)>0$ e $cos(t)>0$, cioè $0\leqt\leq\frac{\pi}{2}$; essendo il coseno positivo hai anche che:
\[
0\leq\frac{\sin(t)}{\cos(t)} \leq \sqrt{3} \\
0\leq\tan(t) \leq \sqrt{3}
\]
e quindi $0\leqt\leq\sqrt{3}$.
Da $1\leqx\leq2$ hai che
\[
1\leq1+r\cos(t)\leq2 \\
0\leq r\cos(t)\leq1
\]
Quindi, poichè $r\geq1$, hai che $1\leqr\leq\frac{1}{cos(t)}$.
Spero di aver fatto tutto giusto!
\[
x = 1 + r \cos(t) \\
y = r\sin(t)
\]
Da $(x − 1)^2 + y^2\geq1$ hai che $r\geq1$.
Da $0\leqy\leqsqrt3(x − 1)$ ottieni che
\[
0 \leq r\sin(t) \leq \sqrt{3}(1+r\cos(t)-1) \\
0 \leq \sin(t) \leq \sqrt{3}\cos(t)
\]
Da cui ricavi che $sin(t)>0$ e $cos(t)>0$, cioè $0\leqt\leq\frac{\pi}{2}$; essendo il coseno positivo hai anche che:
\[
0\leq\frac{\sin(t)}{\cos(t)} \leq \sqrt{3} \\
0\leq\tan(t) \leq \sqrt{3}
\]
e quindi $0\leqt\leq\sqrt{3}$.
Da $1\leqx\leq2$ hai che
\[
1\leq1+r\cos(t)\leq2 \\
0\leq r\cos(t)\leq1
\]
Quindi, poichè $r\geq1$, hai che $1\leqr\leq\frac{1}{cos(t)}$.
Spero di aver fatto tutto giusto!
Io avevo pensato di porre $x=rcost$ e $y=rsent$ e avevo trovato che $1<=r<=2cost$ e $0<=t<=pi/3$ per quanto riguarda il settore circolare e poi volevo sottrarre alla area del triangolino il risultato dell'integrale.L'integrale che ne esce però non lo riesco a risolvere:
$\int_{0}^{pi/3}\int_{1}^{2cost} ((rcost-1)r)/((rcost-1)^2+r^2sen^2t) dr dt$
$\int_{0}^{pi/3}\int_{1}^{2cost} ((rcost-1)r)/((rcost-1)^2+r^2sen^2t) dr dt$
Osservazione generale: la scelta dei cambi di coordinate è del tutto arbitraria, nel senso che ognuno può scegliere quello che vuole. L'obiettivo però deve essere sempre quello di arrivare a qualcosa che sia il più semplice possibile. In questo caso la forma del dominio e il denominatore dell'integranda (ma soprattutto il primo) suggerivano di utilizzare le coordinate polari traslate. Probabilmente l'esercizio può essere svolto senza problemi anche con le coordinate polari classiche, ma sicuramente questo potrebbe creare qualche problema di troppo per la riscrittura del dominio in tali coordinate, oltre a non semplificare la scittura dell'integranda.
Per quanto riguarda la tua idea non so se non riesco a capire io cosa intendi, se stai facendo te un pò di confusione tra il calcolo dell'area di una regione di piano e il calcola dell'integrale di una funzione su quella stessa regione oppure se la parola area ti sia semplicemente sfuggita nella scrittura.
Quello che forse vorresti fare è calcolare l'integrale della funzione sia sul settore circolare sia sul triangolo e fare il secondo meno il primo. Questo procedimento è corretto, ma sicuramente è più lungo di quello che ti ho proposto io e risulta ancor più lungo se utilizzi le coordinate polari centrate nell'origine. Anche in questo caso è meglio utilizzare quelle traslate.
Inoltre così ad occhio (ma potrei sbagliare) non mi pare che, anche utilizzando le coordinate polari centrare nell'origine, si ottenga la limitazione su $r$ che hai scritto.
Per quanto riguarda la tua idea non so se non riesco a capire io cosa intendi, se stai facendo te un pò di confusione tra il calcolo dell'area di una regione di piano e il calcola dell'integrale di una funzione su quella stessa regione oppure se la parola area ti sia semplicemente sfuggita nella scrittura.
Quello che forse vorresti fare è calcolare l'integrale della funzione sia sul settore circolare sia sul triangolo e fare il secondo meno il primo. Questo procedimento è corretto, ma sicuramente è più lungo di quello che ti ho proposto io e risulta ancor più lungo se utilizzi le coordinate polari centrate nell'origine. Anche in questo caso è meglio utilizzare quelle traslate.
Inoltre così ad occhio (ma potrei sbagliare) non mi pare che, anche utilizzando le coordinate polari centrare nell'origine, si ottenga la limitazione su $r$ che hai scritto.
Si in effetti ho fatto un po' di confusione...quindi continuando a sfruttare le coordinate polari e la traslazione l'integrale da risolvere è:
$\int_0^(pi/3)\int_1^(1/cost)(cost) drdt$
è giusto?
$\int_0^(pi/3)\int_1^(1/cost)(cost) drdt$
è giusto?
Manca una r e lo Jacobiano della trasformazione
$(((rcost+1)-1)r)/((rcost+1-1)^2+r^2sen^2t)=r^2cost/r^2=cost$
Non dovrebbe mancare nulla.
Non dovrebbe mancare nulla.
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