Integrale doppio
Ho la funzione $log(x+y)$ da integrare sul dominio $D:[0<=x<=1, x^2<=y<=x]$. Disegnato il dominio, applico la formula di riduzione è ho $ int_(0)^(1)int_(x^2)^(x)log(x+y) dy dx $. Risolvo per parti : $ylog(x+y)]_(x^2)^(x) - int_(x^2)^(x) y/(x+y)dy$ e il primo pezzo diventa $xlog(x+y)-x^2 log(x+y)$ il secondo risolto mi da $-x/2$ e $x^3/ 2$. Quindì ho $int_(0)^(1) xlog(x+y)-x^2 log(x+y)-x/2 +x^3/ 2 dx$. Fino a qua ci sono?
Risposte
"Daddarius":
[...] Risolvo per parti : $ylog(x+y)]_(x^2)^(x) - int_(x^2)^(x) y/(x+y)dy$ e il primo pezzo diventa $xlog(x+y)-x^2 log(x+y)$ [...]
Ammesso (e non concesso) che l'integrazione per parti sia stata effettuata correttamente, nel pezzo quotato mi sembra ci sia un errore: \[y \log (x +y) \big|_{x^2}^{x}=x \log(2x) - x^2 \log ( x + x^2) \]
Ora continuo.
$int_(0)^(1) xlog(2x) dx$ = $1/2 log(2) -1/2$
$-int_(0)^(1) x^2 log(x+x^2)$ = $x^3/ 3 log(x+x^2)]_(0)^(1) $-$1/3 int_(0)^(1) (x^2 *(1+2x))/(1+x)$ e facendo la divisione per polinomi ottengo Resto= $-1$ Quoziente= $2x^2 -x +1$ e quindì ho $-2/3 int_(0)^(1) 2x^2$ + $2/3 int_(0)^(1) x $ $-2/3 int_(0)^(1) 1 $ + $2/3 int_(0)^(1) 1/(x+1)$ che svolgendo tutti gli integrali mi da come risultato: $1/2 log(2) -1/2 - 1/3 log(2) -4/9 +1/3 -2/3 +2/3 log(2)-1/4 +1/8 -1/4 +1/8$ e viente $-17/12 + 5/3 log(2)$ e viene un risultato negativo.
$-int_(0)^(1) x^2 log(x+x^2)$ = $x^3/ 3 log(x+x^2)]_(0)^(1) $-$1/3 int_(0)^(1) (x^2 *(1+2x))/(1+x)$ e facendo la divisione per polinomi ottengo Resto= $-1$ Quoziente= $2x^2 -x +1$ e quindì ho $-2/3 int_(0)^(1) 2x^2$ + $2/3 int_(0)^(1) x $ $-2/3 int_(0)^(1) 1 $ + $2/3 int_(0)^(1) 1/(x+1)$ che svolgendo tutti gli integrali mi da come risultato: $1/2 log(2) -1/2 - 1/3 log(2) -4/9 +1/3 -2/3 +2/3 log(2)-1/4 +1/8 -1/4 +1/8$ e viente $-17/12 + 5/3 log(2)$ e viene un risultato negativo.
Potete dare un' occhiata a questo?

up
Il dominio che hai tracciato (e imposto agli estremi di integrazione) è sbagliato: i valori che $theta$ assume in $D$ non sono quelli. Controlla meglio 
EDIT: controlla anche i passaggi che hai fatto...

EDIT: controlla anche i passaggi che hai fatto...
$ vartheta $ varia tra 0 e $pi/2$. Poichè ho la derivata dell'esponenziale già presente, a meno di un segno negativo, ho $-e^((rhocos(vartheta)/rho)]$ valutato tra $pi/2$ e $0$ che è = $-1 + e$; ora devo integrare questo risultato tra 1 e 3 in dro. Ho quindì come risultato finale $-2 + (3-1)e$
"Daddarius":
$ vartheta $ varia tra 0 e $pi/2$.
No... Se fosse così, $D$ sarebbe definito come $D=\{1 le x^2+y^2 le 9; x ge 0; y ge 0 \}$
"nella fotocopia Daddarius":
$D=\{1 le x^2+y^2 le 9; 0 le x le y \}$
Rifletti su $0 le x le y$: sono entrambi positivi, ma $y$ è inoltre maggiore di $x$, e quindi...
$vartheta$ tra $pi/4$ e $pi/2$.
Ora ci siamo 
Perciò
$int int_D (y cdot exp(x/sqrt(x^2+y^2)))/(x^2+y^2)dxdy=int_(pi/4)^(pi/2) int_1^3 (sin(theta) cdot e^(cos(theta)))/rho d rho d theta$

Perciò
$int int_D (y cdot exp(x/sqrt(x^2+y^2)))/(x^2+y^2)dxdy=int_(pi/4)^(pi/2) int_1^3 (sin(theta) cdot e^(cos(theta)))/rho d rho d theta$
"Brancaleone":
Ora ci siamo
Perciò
$int int_D (y cdot exp(x/sqrt(x^2+y^2)))/(x^2+y^2)dxdy=int_(pi/4)^(pi/2) int_1^3 (sin(theta) cdot e^(cos(theta)))/rho d rho d theta$
Brancaleone che mi dici per quanto riguarda il primo integrale del post?
up
L'hai impostato bene, ma hai sbagliato a svolgerlo:
$int_0^1 int_(x^2)^x ln(x+y)dy dx=int_0^1 [y ln(x+y)-int(y/(x+y))dy]_(x^2)^x dx=$
$=int_0^1 [y ln(x+y)-int(1-x/(x+y))dy]_(x^2)^x dx=int_0^1 {y ln(x+y)-[y-xln(x+y)]}_(x^2)^x dx=$
$=int_0^1 [(x+y)ln(x+y)-y]_(x^2)^x dx=int_0^1 [2xln(2x)-x-(x+x^2)ln(x+x^2)+x^2] dx=...$
$int_0^1 int_(x^2)^x ln(x+y)dy dx=int_0^1 [y ln(x+y)-int(y/(x+y))dy]_(x^2)^x dx=$
$=int_0^1 [y ln(x+y)-int(1-x/(x+y))dy]_(x^2)^x dx=int_0^1 {y ln(x+y)-[y-xln(x+y)]}_(x^2)^x dx=$
$=int_0^1 [(x+y)ln(x+y)-y]_(x^2)^x dx=int_0^1 [2xln(2x)-x-(x+x^2)ln(x+x^2)+x^2] dx=...$
Perfetto.