Integrale doppio

[hannabeth]

$ int int2sqrt(r^2-x^2-y^2) dx dy $
Calcolato sul cerchio di centro l'origine e raggio r.
Il risultato dovrebbe essere uguale al volume della palla $ 4/3pi r^3 $
Vorrei risolvere questo esercizio utilizzando le coordinate polari, solo che non mi risulta e non capisco dove sbaglio. Riporto i miei passaggi:
$ int_(0)^(r) 2sqrt(r^2-rho ^2) drho * int_(0)^(2pi) 1 dvarphi = $
$ = 4pir^2*int_(0)^(pi/2) cos^2(t) dt $
Dove $ rho=rsin(t) $
Da qui, con le formule di bisezione trovo che il risultato sarebbe $ pi^2r^2 $
Dove sbaglio?

[Summerwind78]

ciao

Allora.... per prima cosa quando passi alle coordinate polari devi tenere a mente quale è la trasformazione che compi

nel tuo caso è

$( ( x ),( y ) ) \rightarrow ( ( rho cos varphi),( rho sin varphi ) ) $

inoltre devi sempre ricordare devi trasformare anche $dxdy$ ma non in $d rho d varphi$ bensi in $ |J| d rho d varphi$

dove $|J|$ è il determinate della matrice jacobiana definita come

$| ( dx/(d\rho) , dx/(dvarphi) ),( dy/(d\rho) , dy/(dvarphi) ) | = | ( d/(d\rho) rho cos varphi , d/(dvarphi) rho cos varphi),( d/(d\rho) rho sin varphi , d/(dvarphi) rho sin varphi) |$

che lascio calcolare

Spero di esserti stato di aiuto

se serve chiedi pure

[hannabeth]

Hai ragione, che stupida, mi dimentico sempre il determinante della jacobiana! Ora torna, molte grazie!