Integrale doppio
calcolare: $intint_A sen^3 (x^2+y^2) dx dy$
A è un quarto di corona circolare nel primo e nel quarto quadrante, delimitato inferiormente e superiormente dalle bisettrici dei quadranti, ed il bordo interseca l'asse x in $sqrt(pi/2) , sqrt(pi)$
se parametrizzo gli archi di circonferenza con ${x=rho cos theta , y= rho sin theta}$ con $ rho in [sqrt(pi/2) , sqrt(pi)] , theta in [pi/4,7/4pi]$
ottengo $ intint_A rho sin^3 (rho^2 cos^2 theta + rho^2 sin^2 theta)d rho d theta = intint_A rho sin^3 rho^2 = int_(sqrt(pi)) ^(sqrt(pi/2)) rho sin^3 rho^2 drho int_ (pi/4) ^(7/4pi) d theta$
l'integrale di destra è $6/4pi$ quindi diventa $6/4pi int_(sqrt(pi)) ^(sqrt(pi/2)) rho sin^3 rho^2 drho $
questo ho pensato di risolverlo per parti ma mi viene $1/2pi(sin^3 rho^2 -1)$ e mi torna strano che sia rimasto il $rho$!
A è un quarto di corona circolare nel primo e nel quarto quadrante, delimitato inferiormente e superiormente dalle bisettrici dei quadranti, ed il bordo interseca l'asse x in $sqrt(pi/2) , sqrt(pi)$
se parametrizzo gli archi di circonferenza con ${x=rho cos theta , y= rho sin theta}$ con $ rho in [sqrt(pi/2) , sqrt(pi)] , theta in [pi/4,7/4pi]$
ottengo $ intint_A rho sin^3 (rho^2 cos^2 theta + rho^2 sin^2 theta)d rho d theta = intint_A rho sin^3 rho^2 = int_(sqrt(pi)) ^(sqrt(pi/2)) rho sin^3 rho^2 drho int_ (pi/4) ^(7/4pi) d theta$
l'integrale di destra è $6/4pi$ quindi diventa $6/4pi int_(sqrt(pi)) ^(sqrt(pi/2)) rho sin^3 rho^2 drho $
questo ho pensato di risolverlo per parti ma mi viene $1/2pi(sin^3 rho^2 -1)$ e mi torna strano che sia rimasto il $rho$!
Risposte
Gli estremi di integrazione per $theta$ sono sbagliati, mentre quelli di $rho$ sono invertiti.
EDIT: per intenderci, $A$ è questa?
$A=\{pi/2<=x^2+y^2<=pi; -x<=y<=x\}$
EDIT: per intenderci, $A$ è questa?
$A=\{pi/2<=x^2+y^2<=pi; -x<=y<=x\}$
"un quarto di corona circolare" per me non può avere quella parametrizzazione. se sorvolo su questo, ricorda che tutta la primitiva deve essere calcolata agli estremi di integrazione.
questo è il disegno dell esercizio
per parametrizzare una corona io ho pensato che basta imporre il limite del raggio tra le due circonferenza di bordo e poi imporre il limite di rotazione tra gli angoli $pi/4$ e $- pi/4$ ovvero $2pi-pi/4=7/4pi$
@brancaleone: sisi è quella
per parametrizzare una corona io ho pensato che basta imporre il limite del raggio tra le due circonferenza di bordo e poi imporre il limite di rotazione tra gli angoli $pi/4$ e $- pi/4$ ovvero $2pi-pi/4=7/4pi$
@brancaleone: sisi è quella
"lex153":
per parametrizzare una corona io ho pensato che basta imporre il limite del raggio tra le due circonferenza di bordo
E questo è giusto.
EDIT: tolta nota dopo aver riletto meglio...
ok, ci siamo. ma allora attento a come scrivi l'intervallo entro cui varia $\theta$.
o è $-\pi/4<\theta<\pi/4$ (te lo consiglio)
o è $7/4 \pi <\theta < 2pi \cup 0<\theta<\pi/4$
rimane comunque il fatto che il tuo dubbio non si risolve giocando su questi aspetti.
o è $-\pi/4<\theta<\pi/4$ (te lo consiglio)
o è $7/4 \pi <\theta < 2pi \cup 0<\theta<\pi/4$
rimane comunque il fatto che il tuo dubbio non si risolve giocando su questi aspetti.
avete ragione! che fesso 
lo rifaccio e vi posto il punto a cui mi blocco
lo rifaccio e vi posto il punto a cui mi blocco
bene ma mi rimane sempre quell'integrale in $d rho$
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