Integrale doppio

[Tommy85]

devo calcolare questo integrale
$int_0^(pi/2)x(int_(-senx)^(cos x) y/(sqrt(1-y^2)) dy)dx$
calcolo a parte $int y/(sqrt(1-y^2)) dy$ applico il metodo della sostituzione $u=1-y^2$ quindi diventa
$-1/2 int 1/sqrt (u) du=-sqrt (u) +c$ quindi sostituendo viene $-sqrt(1-y^2)$
quindi
$int_0^(pi/2)x(-sqrt(1-cos^2 x) + sqrt(1-sen^2 x) dx$
$int_0^(pi/2)x(sqrt(cos^2 x) - sqrt(sen^2 x) dx=int_0^(pi/2)(xsqrt(cos^2 x) - xsqrt(sen^2 x)) dx=int_0^(pi/2)xsqrt(cos^2 x) dx - int_0^(pi/2)xsqrt(sen^2 x) dx=int_0^(pi/2)x (cos x) dx - int_0^(pi/2)x (sen x) dx$
poi applicando l'integrazione per parti ponendo
$f=x$ $dg= sen x dx$
$df=dx$ $g=-cos x$ avremo
$x cos x- int_0^(pi/2) cos x dx+ int_0^(pi/2) x cos x dx=$
$=-sen x+x cos x+int_0^(pi/2) x cos x dx$ poi rifaccio l'integrazione per parti mettendo $f=x$ $dg=cos x dx$
$df=dx$ $g=sen x$ quindi mi viene
$x sen x-sen x+x cosx-int_0^(pi/2)sen x dx=x sen x-sen x+x cos x +cos x+c$ dv sbaglio?

[Tommy85]

Forse ho capito dv sbaglio...praticamente mi sono confuso e alla fine l'ho calcolato come un integrale indefinito ed invece è definito....arrivato a questo punto dovevo procedere in questo modo almeno penso
$int_0^(pi/2) x sqrt(cos^2 x)dx -int_0^(pi/2) x sqrt(sen^2 x)dx$ li risolvo a parte
$int_0^(pi/2) x sqrt(cos^2 x)dx$ ponendo $f=x$ $dg=cos x dx$ $df=dx$ $g=sen x$ allora $=[x sen x -int sen x dx]_0^(pi/2) =[x sen x+ cos x]_0^(pi/2)=pi/2 -1$
Risolvo l'altro
$-int_0^(pi/2) x sqrt(sen^2 x)dx$ ponendo $f=x$ $dg=sen x dx$ $df=dx$ $g=-cos x$ allora $=[x cos x -int cos x dx]_0^(pi/2) =[x cos x+ sen x]_0^(pi/2)=-1$
Quindi il risultato sarà
$=pi/2 -1-1=pi/2 -2=1/2(pi -4)$ esatto vero?