Integrale doppio

[asabasa]

Calcolare l'integrale della seguente funzione:

$F(x,y)= 1/{1+x^2y^2}$

${(x<=y<=sqrt3x),(xy<=1):}$ nel primo quadrante.

In coordinate polari diventa:

${(x=rhocostheta),(y=rhosentheta):}$

con $pi/4<=theta<=pi/3$

e $0<=rho<= sqrt(1/{senthetacostheta})$

$int_{pi/4}^{pi/3} d{theta} int_{0}^{sqrt(1/(senthetacostheta)}$ $ rho/(1 + rho^4sen^2thetacos^2theta} drho$

E' giusto fin qui?

Ma come integro quella robaccia?
DI sicuro mi deve uscire $arctg(rho^2senthetacostheta)$

Ma poi mi blocco...!!!

[Vanzan]

Guardando così ad occhio.. non ti conviene lasciare perdere le coordinate polari e integrare normalmente? La regione su cui devi integrare è lo spazio fra le due rette e delimitato dal ramo di iperbole.. Direi che è verticalmente connesso e hai $0<=x<=1$ e $x<=y<=sqrt(3)x$

[asabasa]

Non mi trovo con quello che dici tu,
se provo a disegnare il dominio come lo descrivi tu l'iperbole non compare proprio,
compaiono solo delle rette.

[Vanzan]

Si scusami hai ragione ho scritto male il dominio.. Concordiamo pero sul fatto che sia verticalmente connesso?
Spezzerei il dominio in due parti: il primo da $0 Il secondo con $1/(3^(1/4)) < x <1$ e $ x < y < 1/x$
Magari semplifica un po' i calcoli non ho provato sinceramente!

[asabasa]

Eh si c'hai ragione...!

Perchè effettivamente le coordinate polari mi complicavano solo le cose!
Invece ora:

$int_0^{1/(3^(1/4))}int_x^{xsqrt3} 1/{1 +x^2y^2} dxdy = int_0^{1/(3^(1/4))}[{arctg(xy)}/y]_x^{xsqrt3} dx$
E l'altro :
$int_{1/(3^(1/4))}^1int_{1/x}^x 1/{1 +x^2y^2}=int_{1/(3^(1/4))}^1[{arctg(xy)}/y]_{1/x}^xdx$

Che comunque non è tanto bello.

Uffa e pensare che ci avevo anche pensato a fare una cosa del genere...

Il testo dell'esercizio continua chiedendo di calcolare l'integrale illimitato con

$x

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