Integrale doppio
Buongiorno a tutti! Ho un grandissimo problema con un esercizio di integrali doppi che non riesco a risolvere, mi serve il vostro aiuto. Ecco il testo:
Sia $D=D_1uu\D_2$ dove $D_1$ è il rettangolo $[-2,2]xx[0,2]$ privato del triangolo di vertici (-1,0), (1,0) e (0,1), mentre $D_2={(x,y) : 1<=x^2+y^2<=4 ; y<=0}$. Disegnare D e calcolare $\int int_D xe^(-(x^2+y^2)) dxdy$
L'immagine dovrebbe essere questa:
Prendo $D_1$ che è l'area rossa, e dato che l'immagine è simmetrica rispetto all'asse y, per semplificare i calcoli prendo la parte sinistra della figura e il risultato finale lo moltiplico per 2, quindi intanto descrivo il metà-dominio di $D_1$:
$D_11={(x,y) : -2<=x<=0 ; 0<=y<=2} - {(x,y) : -1<=x<=0 ; 0<=y<=x+1}$
L'idea è quella di prendere la prima parte di $D_11$ e calcolare il suo integrale doppio, poi prendere la seconda parte (quella dopo il meno, cioè quella che equivale al triangolo) e fare lo stesso calcolo, quindi alla fine sottrarre i due risultati, in modo da ottenere solo il dominio interessato. Ecco che però mi blocco sui calcoli, posto quello che sono riuscita a fare e poi mi dite se ho fatto qualche errore o come andrebbe poi risolto.
PARTE 1 (${(x,y) : -2<=x<=0 ; 0<=y<=2}$)
$\int_0^2 (int_-2^0 xe^(-(x^2+y^2)) dx) dy$
$= \int_0^2 (int_-2^0 x*1/(e^(x^2)*e^(y^2)) dx) dy$
$= \int_0^2 (1/e^(y^2) int_-2^0 x/e^(x^2) dx) dy$ ......Dato che $\int e^f(x)*f'(x) = e^f(x)$ moltiplico -2 alla x in modo da ottenere questa situazione
$= \int_0^2 (1/e^(y^2) * 1/-2 * int_-2^0 -2x*e^(-x^2) dx) dy$
$= \int_0^2 (-1/(2e^(y^2)) * (1-1/e^4)) dy$
$= (1/e^4-1) \int_0^2 1/(2e^(y^2)) dy$
Qui ho provato a utilizzare il metodo della sostituzione, con $e^(y^2)=t$, $y=sqrt(logt)$, $dy=1/(2t*sqrt(logt))$
ma così mi trovo in difficoltà con l'integrale che non riesco a risolvere:
$= (1/e^4-1) \int_0^2 1/t*1/(2t*sqrt(logt)) dt$
Che devo fare ora?
Grazie anticipatamente
Sia $D=D_1uu\D_2$ dove $D_1$ è il rettangolo $[-2,2]xx[0,2]$ privato del triangolo di vertici (-1,0), (1,0) e (0,1), mentre $D_2={(x,y) : 1<=x^2+y^2<=4 ; y<=0}$. Disegnare D e calcolare $\int int_D xe^(-(x^2+y^2)) dxdy$
L'immagine dovrebbe essere questa:
Prendo $D_1$ che è l'area rossa, e dato che l'immagine è simmetrica rispetto all'asse y, per semplificare i calcoli prendo la parte sinistra della figura e il risultato finale lo moltiplico per 2, quindi intanto descrivo il metà-dominio di $D_1$:
$D_11={(x,y) : -2<=x<=0 ; 0<=y<=2} - {(x,y) : -1<=x<=0 ; 0<=y<=x+1}$
L'idea è quella di prendere la prima parte di $D_11$ e calcolare il suo integrale doppio, poi prendere la seconda parte (quella dopo il meno, cioè quella che equivale al triangolo) e fare lo stesso calcolo, quindi alla fine sottrarre i due risultati, in modo da ottenere solo il dominio interessato. Ecco che però mi blocco sui calcoli, posto quello che sono riuscita a fare e poi mi dite se ho fatto qualche errore o come andrebbe poi risolto.
PARTE 1 (${(x,y) : -2<=x<=0 ; 0<=y<=2}$)
$\int_0^2 (int_-2^0 xe^(-(x^2+y^2)) dx) dy$
$= \int_0^2 (int_-2^0 x*1/(e^(x^2)*e^(y^2)) dx) dy$
$= \int_0^2 (1/e^(y^2) int_-2^0 x/e^(x^2) dx) dy$ ......Dato che $\int e^f(x)*f'(x) = e^f(x)$ moltiplico -2 alla x in modo da ottenere questa situazione
$= \int_0^2 (1/e^(y^2) * 1/-2 * int_-2^0 -2x*e^(-x^2) dx) dy$
$= \int_0^2 (-1/(2e^(y^2)) * (1-1/e^4)) dy$
$= (1/e^4-1) \int_0^2 1/(2e^(y^2)) dy$
Qui ho provato a utilizzare il metodo della sostituzione, con $e^(y^2)=t$, $y=sqrt(logt)$, $dy=1/(2t*sqrt(logt))$
ma così mi trovo in difficoltà con l'integrale che non riesco a risolvere:
$= (1/e^4-1) \int_0^2 1/t*1/(2t*sqrt(logt)) dt$
Che devo fare ora?
Grazie anticipatamente
Risposte
A me pare che la funzione da integrare sia dispari rispetto all'asse $y$, non credi? (Se cambi $x\to -x$ viene esattamente la funzione opposta. Per cui l'integrale dovrebbe essere zero, a causa della simmetria del dominio.
Ah ecco, questa cosa della simmetria non l'ho ancora capita. Allora, so che se ho una funzione definita su D, allora l'integrale doppio identifica il volume del solido delimitato dal grafico della funzione superiormente, e da D inferiormente. Quindi se l'area di D è nulla, l'integrale doppio è nullo, ma non capisco come è possibile che il dominio sia nullo, nel senso che pensando a un D=0 immagino ad una figura vuota... penso di avere le idee un po' confuse 
*edit: Mi sono documentata su questa questione delle simmetrie, ma per quanto riguarda le funzioni a due variabili ho dei dubbi. Se $f(-x,y)=f(x,y)$ allora la funzione è pari rispetto a x (o all'asse x?), se $f(x,-y)=f(x,y)$ è pari rispetto a y, ma esiste anche il caso $f(-x,-y)=f(x,y)$?
*edit: Mi sono documentata su questa questione delle simmetrie, ma per quanto riguarda le funzioni a due variabili ho dei dubbi. Se $f(-x,y)=f(x,y)$ allora la funzione è pari rispetto a x (o all'asse x?), se $f(x,-y)=f(x,y)$ è pari rispetto a y, ma esiste anche il caso $f(-x,-y)=f(x,y)$?
Che significa "dominio nullo"? Nessuno parla del dominio qui (a parte l'osservazione sulla sua forma simmetrica). Il risultato segue dalla disparità della funzione da integrare: è l'equivalente di quando calcoli l'integrale $\int_{-a}^a f(x)\ dx$ con $f$ dispari.
$f(-x,y)=f(x,y)$ pari rispetto all'asse $y$ (il disegno della superficie $z=f(x,y)$ è lo stesso a destra e sinistra dell'asse $y$)
$f(x,-y)=f(x,y)$ pari rispetto all'asse $x$ (il disegno della superficie $z=f(x,y)$ è lo stesso sopra e sotto l'asse $x$)
$f(-x,-y)=f(x,y)$ pari rispetto all'origine (in pratica, il disegno della superficie $z=f(x,y)$ è lo stesso sul I e III quadrante e sul II e IV quadrante).
$f(-x,y)=f(x,y)$ pari rispetto all'asse $y$ (il disegno della superficie $z=f(x,y)$ è lo stesso a destra e sinistra dell'asse $y$)
$f(x,-y)=f(x,y)$ pari rispetto all'asse $x$ (il disegno della superficie $z=f(x,y)$ è lo stesso sopra e sotto l'asse $x$)
$f(-x,-y)=f(x,y)$ pari rispetto all'origine (in pratica, il disegno della superficie $z=f(x,y)$ è lo stesso sul I e III quadrante e sul II e IV quadrante).
Sì scusa ho fatto parecchia confusione!
Quindi io ogni volta che devo calcolare un integrale mi conviene prima verificare se è dispari, in questo caso avendo $f(-x, y) =-f(x, y)$ so subito che il risultato è zero, quindi l'esercizio è finito lì. Mille pagine di calcolo evitate
Quindi io ogni volta che devo calcolare un integrale mi conviene prima verificare se è dispari, in questo caso avendo $f(-x, y) =-f(x, y)$ so subito che il risultato è zero, quindi l'esercizio è finito lì. Mille pagine di calcolo evitate
Yes!
Perfettissimo! Grazie mille per l'aiuto! 
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