Integrale doppio
Ciao a tutti, ho bisogno di chiarimenti riguardo un esercizio sugli integrali doppi. Il testo e la soluzione li ho trovati sul sito di un'università, ma la mia soluzione non coincide con quella data e non riesco a capire dove sbaglio.
L'integrale da risolvere è questo:
$\int_D xcosy dxdy$, con $D={(x,y)in RR^2 | -1<=x<=1, 0<=y<=1-x^2}$
Io l'ho risolto in questo modo:
$\int_-1^1 (int_0^(1-x^2) xcosy dy)dx$
$= \int_-1^1 [xsiny]_0^(1-x^2) dx$
$= \int_-1^1 xsin(1-x^2) dx$
A questo punto risolvo tramite integrazione per parti, ponendo $x=f$ e $sin(1-x^2)=g'$, quindi $f'=1$ e $g=-cos(1-x^2)$:
$= [-xcos(1-x^2)-\int -cos(1-x^2)*1 dx]_-1^1$
$= [-xcos(1-x^2)+sin(1-x^2)]_-1^1$
$= -1*cos(0)+sin(0)-[-(-1)*cos(0)+sen(0)]$
$= -1+0-1-0 = -2$
Ma la soluzione giusta dovrebbe essere questa:
Prima di tutto, non capisco perchè il mio svolgimento è sbagliato. Inoltre, nella soluzione corretta, cosa è successo nella seconda riga? Da dove sbuca $-1/2$? E perchè $dx$ è diventato $d(1-x^2)$? Perchè il tutto alla fine diventa $-1/2{sin0-sin0}$ ovviamente lo comprendo meno ancora.
Grazie a chiunque possa aiutarmi
L'integrale da risolvere è questo:
$\int_D xcosy dxdy$, con $D={(x,y)in RR^2 | -1<=x<=1, 0<=y<=1-x^2}$
Io l'ho risolto in questo modo:
$\int_-1^1 (int_0^(1-x^2) xcosy dy)dx$
$= \int_-1^1 [xsiny]_0^(1-x^2) dx$
$= \int_-1^1 xsin(1-x^2) dx$
A questo punto risolvo tramite integrazione per parti, ponendo $x=f$ e $sin(1-x^2)=g'$, quindi $f'=1$ e $g=-cos(1-x^2)$:
$= [-xcos(1-x^2)-\int -cos(1-x^2)*1 dx]_-1^1$
$= [-xcos(1-x^2)+sin(1-x^2)]_-1^1$
$= -1*cos(0)+sin(0)-[-(-1)*cos(0)+sen(0)]$
$= -1+0-1-0 = -2$
Ma la soluzione giusta dovrebbe essere questa:
Prima di tutto, non capisco perchè il mio svolgimento è sbagliato. Inoltre, nella soluzione corretta, cosa è successo nella seconda riga? Da dove sbuca $-1/2$? E perchè $dx$ è diventato $d(1-x^2)$? Perchè il tutto alla fine diventa $-1/2{sin0-sin0}$ ovviamente lo comprendo meno ancora.
Grazie a chiunque possa aiutarmi
Risposte
Ciao sbagli perchè una primitiva del $sin(1-x^2)$ NON è $-cos(1-x^2)$: ti basta derivare $-cos(1-x^2)$ per convincertene.
Inoltre se tu avessi $sin(1-x)$ una sua primitiva sarebbe $cos(1-x)$ senza il meno davanti!
Ignora del tutto il $d(1-x^2)$ che personalmente non trovo per niente elegante.
Per risolvere l'integrale $int_-1^1x*sin(1-x^2)dx$ hai due modi:
1) La funzione integranda è dispari (verificalo per esercizio) e di conseguenza in punti simmetrici assume valori opposti: perciò l'integrale risulta nullo.
2) Ricordare l'importantissima formula:
$int_a^bf(phi(x))*phi'(x)dx=F(phi(x))|_a^b$ dove $F$ è una primitiva di $f$.
Inoltre se tu avessi $sin(1-x)$ una sua primitiva sarebbe $cos(1-x)$ senza il meno davanti!
Ignora del tutto il $d(1-x^2)$ che personalmente non trovo per niente elegante.
Per risolvere l'integrale $int_-1^1x*sin(1-x^2)dx$ hai due modi:
1) La funzione integranda è dispari (verificalo per esercizio) e di conseguenza in punti simmetrici assume valori opposti: perciò l'integrale risulta nullo.
2) Ricordare l'importantissima formula:
$int_a^bf(phi(x))*phi'(x)dx=F(phi(x))|_a^b$ dove $F$ è una primitiva di $f$.
È vero non ci ho pensato! 
Ok ora ho capito, grazie mille! 
Ok ora ho capito, grazie mille!
Di niente 
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