Integrale doppiamente improprio
L'integrale è questo:
$\int_{0}^{2\pi} (root(3)(x)-root(3)(sin(x)))/(root(3)(x*sin(x))) dx$
Il mio problema stà nel fatto che questo integrale è improprio si a $0$ cha a $2\pi$.
Mi spiego meglio: devo calcolare la convergenza ed il valore di questo integrale, ma non so come fare metà dell'esercizio, perchè per quanto riguarda la convergenza a $0$, non ci sono problemi, ma a $2\pi$ si. Le uniche formule che conosco servono per calcolare la convergenza nei casi $0$ o $+\infty$, ma per valori noti, come qui $2\pi$ non ne conosco neanche una.
Potreste aiutarmi?
Grazie!!
$\int_{0}^{2\pi} (root(3)(x)-root(3)(sin(x)))/(root(3)(x*sin(x))) dx$
Il mio problema stà nel fatto che questo integrale è improprio si a $0$ cha a $2\pi$.
Mi spiego meglio: devo calcolare la convergenza ed il valore di questo integrale, ma non so come fare metà dell'esercizio, perchè per quanto riguarda la convergenza a $0$, non ci sono problemi, ma a $2\pi$ si. Le uniche formule che conosco servono per calcolare la convergenza nei casi $0$ o $+\infty$, ma per valori noti, come qui $2\pi$ non ne conosco neanche una.
Potreste aiutarmi?
Grazie!!
Risposte
Scusate l'impazienza, ma nessuno sa darmi un consiglio?
[mod="Fioravante Patrone"]Consiglio?
Rispettare il regolamento del forum:
3.4 Evitare sollecitazioni del tipo "up" per almeno 3 giorni dalla domanda posta: il forum è frequentato e animato da appassionati che non hanno nessun obbligo di risposta. [/mod]
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Giustissimo.
Chiedo scusa a tutti!!
Chiedo scusa a tutti!!
[mod="Fioravante Patrone"]Grazie per la comprensione.[/mod]
Allora in un intorno di $x=2\pi$ si può vedere facilmente come $sin(x)=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k ((x-2\pi)^{2k+1})/((2k+1)!)$ (la funzione seno è periodica di $2\pi$ quindi nello sviluppo di taylor rispetto al punto $2\pi$ le derivate calcolate in $2\pi$ coincidono con quelle calcolate in $0$).
Quindi studiando la funzione integranda in un intorno di $2\pi$ si ha
$\lim_{x->2\pi} (root(3)(x)-root(3)(sin(x)))/(root(3)(x*sin(x))) = (root(3)(x)-root(3)(x-2\pi))/(root(3)(x*(x-2\pi))) = (root(3)(x))/(root(3)(x)*root(3)(x-2\pi)) = 1/root(3)(x-2\pi)$
Questa funzione (che maggiora l'integranda) non ha problemi di convergenza in un intorno di $2\pi$ infatti è come $1/x^\alpha$ tra $[0,1]$, risulta integrabile se e solo se $\alpha < 1$, quindi anche la funzione di partenza risulta integrabile in senso in proprio verso $2\pi$.
Quindi studiando la funzione integranda in un intorno di $2\pi$ si ha
$\lim_{x->2\pi} (root(3)(x)-root(3)(sin(x)))/(root(3)(x*sin(x))) = (root(3)(x)-root(3)(x-2\pi))/(root(3)(x*(x-2\pi))) = (root(3)(x))/(root(3)(x)*root(3)(x-2\pi)) = 1/root(3)(x-2\pi)$
Questa funzione (che maggiora l'integranda) non ha problemi di convergenza in un intorno di $2\pi$ infatti è come $1/x^\alpha$ tra $[0,1]$, risulta integrabile se e solo se $\alpha < 1$, quindi anche la funzione di partenza risulta integrabile in senso in proprio verso $2\pi$.
E nell'intorno di $ pi $ avete valutato che succede ?
In un intorno di $\pi$ si può utilizzare lo stesso ragionamento.... si avranno i segni girati nello sviluppo del seno, ma il ragionamento non cambia
Si, è vero, c'è da valutare anche il valore in $\pi$.
Grazie a tutti dell'aiuto!!
Grazie a tutti dell'aiuto!!
Propongo un altro ragionamento, chiedo a tutti voi se è esatto: spezzo l'integrale $int_(0)^(a) (root(3)(x)-root(3)(sinx))/(root(3)(xsinx)) + int_(a)^(pi) (root(3)(x)-root(3)(sinx))/(root(3)(xsinx)) +int_(pi)^(b) (root(3)(x)-root(3)(sinx))/(root(3)(xsinx)) +int_(b)^(2pi) (root(3)(x)-root(3)(sinx))/(root(3)(xsinx)) , a in [0,pi], b in [pi, 2pi]$.
Il primo integrale: per x-> 0 il numeratore è differenza di due infinitesimi di ordine 1/3, quindi è un infinitesimo maggiore di 1/3, il denominatore è un infinitesimo di ordine 2/3, quindi anche senza calcolare l'ordine di infinitesimo del numeratore si può comunque dire che nell'intorno 0 o si ha un infinitesimo ( numeratore di ordine >2/3) e quindi la funzione sarebbe prolungabile per continuità e l'integrale convergerebbe, o un infinito di ordine minore di 1/3, che è minore di 1 e quindi l'integrale convergerebbe comunque.
Il secondo integrale: per $x->pi$ la funzione è infinito di ordine 1/3 che è minore di 1 quindi l'integrale converge
Il terzo integrale: come il secondo
Il quarto integrale: per $x->2pi$ infinito di ordine 1/3 quindi converge come sopra.
I quattro integrali impropri pertanto convergono quindi converge anche la loro somma.
Il primo integrale: per x-> 0 il numeratore è differenza di due infinitesimi di ordine 1/3, quindi è un infinitesimo maggiore di 1/3, il denominatore è un infinitesimo di ordine 2/3, quindi anche senza calcolare l'ordine di infinitesimo del numeratore si può comunque dire che nell'intorno 0 o si ha un infinitesimo ( numeratore di ordine >2/3) e quindi la funzione sarebbe prolungabile per continuità e l'integrale convergerebbe, o un infinito di ordine minore di 1/3, che è minore di 1 e quindi l'integrale convergerebbe comunque.
Il secondo integrale: per $x->pi$ la funzione è infinito di ordine 1/3 che è minore di 1 quindi l'integrale converge
Il terzo integrale: come il secondo
Il quarto integrale: per $x->2pi$ infinito di ordine 1/3 quindi converge come sopra.
I quattro integrali impropri pertanto convergono quindi converge anche la loro somma.
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