Integrale divertente

[Pachito1]

Senza utilizzare il teorema dei residui, calcolare il seguente integrale:

Ln(x)/x dx

nell'intervallo (0,+inf).

Se qualcuno volesse poi discuterne la convergenza....

[Principe2]

prima domanda: Ln è il logaritmo naturale?

seconda: cos'è il teorema dei residui?

supponiamo che quello sia il logaritmo allora l'integrale è molto semplice e viene (lnx)^2/2
ora dovrei calcolarlo nell'intervallo (0,+oo) il massimo che posso fare è staccarlo in (0,1) e (1,+oo)
nel primo intevallo dovrebbe venire +oo
nel secondo dovrebbe venire sempre +oo
in definitiva l'integrale definito tra (0,+oo) dovrebbe venire +oo

corretto?? o pure fantasticherie??

ciao, ubermensch

[Pachito1]

a) Ln è il logaritmo naturale.

b) Il teorema dei residui è troppo lungo per essere descritto, comunque dai un'ochhiata in rete che sicuramente trovi qualcosa.

Per quanto riguarda il resto, beh.... se fosse corretto non sarebbe un integrale divertente.

[Principe2]

scusa.. ma lnx/x interseca l'ascisse in x=1, pertanto l'integrale improprio tra 0 e +00 non può essere scomposto in due integrali impropri e poi fare una rozzissima somma algebrica??
in verità, pur avendo studiato teoricamente gli integrali impropri, non ho mai fatto un esercizio su di essi (questo è il primo) però.. boh non mi sembra tanto astruso il mio ragionamento; d'altronde
l'integrale tra a e +00 di f(x) è uguale al limite per b che tende all'infinito dell'integrale tra a e b... non ho fatto altro che utilizzare due volte questa formula..

bah...

ciao, ubermensch

[Sk_Anonymous]

Avrei fatto il ragionamento seguente:
posto x=1/t,si ha
ln(x)/xdx in [0,+inf]=ln(1/t)/(1/t)*(-1/t^2)dt in [+inf,0]
ovvero (cambiando nel secondo integrale t con x,tanto si tratta di variabili mute):
ln(x)/xdx in [0,+inf]=-ln(x)/xdx in [0,+inf]
Da cio' segue che l'integrale richiesto e' zero.
Speriamo bene!
karl.

[Pachito1]

Ottimo mio caro Karl.

citazione:

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l'integrale improprio tra 0 e +00 non può essere scomposto in due integrali impropri e poi fare una rozzissima somma algebrica??

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E' esatto. Prova a scomporlo come hai detto e applica la sostituzione proposta da Karl (t->1/x) ad uno dei due membri. Si tratta anche in questo caso (come a->tg(x)) di un isomorfismo che mappa i punti (0,1]->(+inf,1]

citazione:

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nel primo intevallo dovrebbe venire +oo

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Sicuro? Come può essere che una funzione tutta negativa mi generi un integrale che diverge a +inf?
Non avrai mica fatto il limite per x->0 della primitiva, vero?

[Principe2]

verissimo ho sbagliato il limite: mi sono dimenticato che il log era al quadrato.. però ho un'altra domanda, dettata dal fatto che, come ho già detto, abbiamo solo accennato agli integrali impropri:

quando si chiede di stabilire la convergenza o la divergenza di un integrale improprio bisogna dimenticarsi del fatto che l'integrale definito rappresenta l'area compresa tra il grafico della curva e l'asse dell'ascisse? insomma quello che voglio dire è che io non mi sono affatto stupito che l'integrale tra 0 e 1 venisse positivo, dovendo essere un'area, ma mi viene il dubbio di aver confuso, per inesperienza, le due cose... d'altra parte non c'è alcun dubbio che l'area è +00!?

ciao, ubermensch

p.s. grazie per le "dritte"

[Sk_Anonymous]

caro Pachito
non vi è dubbio che l’integrale da te proposto sia ‘divertente’, solo che qualche dubbio può insorgere sulla correttezza della procedura seguita. Il fatto è che la definizione di integrale improprio è sempre, su di intervallo finito o infinito è sempre legata al concetto di limite. Ad esempio l’integrale di una funzione f(t) tra –00 a +00 è per definizione dato da…

lim [x,y -> +00] [-y
… dove x ed y devono tendere a +00 indipendentemente. Se per fare un esempio concreto prendiamo…

f(t) = t/(1+t) (2)

… la sua primitiva è evidentemente…

F(t) = ½ * ln (1+t) + c (3)

L’integrale tra –y ed x di f(t) vale dunque…

= ½ ln (1+x)/(1+y) (4)

Se poniamo ora x=y l’intergale (4) è sempre nullo e quindi il limite cercato è anch’esso nullo per x,y -> +00. Se però facciamo tendere x e y indipendentemente a +00 è chiaro che questo non è più vero e pertanto dobbiamo concludere che la f(t) assegnata non è integrabile in senso generalizzato sull’intervallo –00, +00. Analoghe considerazioni credo si possano fare anche sulla funzione data da te [f(t)=ln t/t], la quale pertanto non dovrebbe potersi integrare tra 0 e +00…

cordiali saluti!…

lupo grigio

[goblyn]

Concordo con Lupo Grigio

[Pachito1]

citazione:

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Se qualcuno volesse poi discuterne la convergenza....

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Vedremo di fare chiarezza più tardi. Comunque sono d'accordo con voi.