Integrale divergente
Devo mostrare che \(e^{1/x}\) non è una distribuzione. Considerando \([0,1]\) (per def. all'esterno di \(]0,1[\) è nulla) si ha
\begin{split}
\int_{0}^{1}e^{1/x}\mbox{d}x
&=\lim_{\epsilon \to 0^{+}} \int_{\epsilon}^{1}e^{1/x}\mbox{d}x \\
&=[\int_{1/2}^{1}+\int_{1/3}^{1/2}+...]e^{1/x}\mbox{d}x \\
&=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{1/(k+1)}^{1/k}e^{1/x}\mbox{d}x
\end{split}
Per il teorema della media integrale la somma non rispetta la condizione necessaria. E' corretto?
\begin{split}
\int_{0}^{1}e^{1/x}\mbox{d}x
&=\lim_{\epsilon \to 0^{+}} \int_{\epsilon}^{1}e^{1/x}\mbox{d}x \\
&=[\int_{1/2}^{1}+\int_{1/3}^{1/2}+...]e^{1/x}\mbox{d}x \\
&=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{1/(k+1)}^{1/k}e^{1/x}\mbox{d}x
\end{split}
Per il teorema della media integrale la somma non rispetta la condizione necessaria. E' corretto?
Risposte
a me sembra tutto abbastanza scorretto
l'integrale diverge perchè,semplicemente,l'integrando è un infinito d'ordine di gran lunga maggiore di $1$ per $x rarr 0$
l'integrale diverge perchè,semplicemente,l'integrando è un infinito d'ordine di gran lunga maggiore di $1$ per $x rarr 0$
Sapresti indicarmi i passaggi errati?
secondo me non è lecito il passaggio dal limite a quella serie che hai scritto e poi francamente(ma può essere un mio limite)non ho capito proprio come hai fatto a trarre la tua conclusione a partire dalla serie
ripeto,che l'integrale sia divergente è lampante in quanto hai a che fare con un infinito che più infinito non si può
ripeto,che l'integrale sia divergente è lampante in quanto hai a che fare con un infinito che più infinito non si può
Considero l'integrale come \(f(\epsilon)\). Se \(f(1/k)\) tende a \(+\infty\) voglio che \(f(\epsilon)\) vi tenda per \(\epsilon \rightarrow 0^{+}\). Dato \(]\delta,+\infty]\) esiste \(\tilde{k}\) t.c. \(f(1/k)\in ]\delta,+\infty]\) per ogni \(k>\tilde{k}\). La funzione è continua e monotona quindi posto \(\tilde{x}=1/(\tilde{k}+1)\) si ha \(f(0,\tilde{x})=(f(\tilde{x}),\infty]\subset ]\delta,+\infty]\). Mentre l'inverso è sempre vero qui mi sembra sia richiesta almeno la continuità.
Posto \(\delta_{1}=1/(n+1)\) e \(\delta_{2}=1/n\) vale che \(e^{1/\delta_{2}}(\delta_{2}-\delta_{1})\) limita inferiormente i termini della successione. Premesso che sia giusto, in OP non ho giustificato ogni passaggio nel dettaglio per cui ci ho messo molto poco a scrivere quella cosa. Potresti sviluppare il tuo ragionamento?
poi francamente(ma può essere un mio limite)non ho capito proprio come hai fatto a trarre la tua conclusione a partire dalla serie ripeto,che l'integrale sia divergente è lampante in quanto hai a che fare con un infinito che più infinito non si può
Posto \(\delta_{1}=1/(n+1)\) e \(\delta_{2}=1/n\) vale che \(e^{1/\delta_{2}}(\delta_{2}-\delta_{1})\) limita inferiormente i termini della successione. Premesso che sia giusto, in OP non ho giustificato ogni passaggio nel dettaglio per cui ci ho messo molto poco a scrivere quella cosa. Potresti sviluppare il tuo ragionamento?
"stormy":
Potresti sviluppare il tuo ragionamento?
beh,c'è poco da sviluppare
c'è un teorema che assicura la divergenza dell'integrale in quanto per $x rarr 0^+$ la funzione $y=e^(1/x)$ è un infinito di ordine maggiore di $1$
Ok ma non ricordo il criterio.
adesso ti trascrivo il teorema 
Teorema:Sia $y=f(x)$ definita e continua in $(a,b]$.Se $f(x)$ è un infinito di ordine minore di $1$ per $x rarr a^+$ essa risulta integrabile in $[a,b]$;non è integrabile se invece è un infinito di ordine maggiore o uguale ad $1$ per $x rarr a^+$ ed in un intorno destro di $a$ assume sempre valori dello stesso segno
ovviamente c'è un teorema analogo riguardo il comportamento intorno a $b$
Teorema:Sia $y=f(x)$ definita e continua in $(a,b]$.Se $f(x)$ è un infinito di ordine minore di $1$ per $x rarr a^+$ essa risulta integrabile in $[a,b]$;non è integrabile se invece è un infinito di ordine maggiore o uguale ad $1$ per $x rarr a^+$ ed in un intorno destro di $a$ assume sempre valori dello stesso segno
ovviamente c'è un teorema analogo riguardo il comportamento intorno a $b$
Ok, grazie.
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