Integrale dimostrazione

[Matricola252]

Buondì,
è da qualche ora che provo a risolvere tale dimostrazione, utilizzando per lo più Lagrange ed il teorema della Media Integrale, ma senza successo
dimostra che
$ F(x)=int_(x-1)^(x+1) f(t) dt $
con f continua su R, esiste un punto c tale che
$ F(1)- F(0)= f(c+1)-f (c-1) $ con $ cin (0,1) $
utilizzando il teorema della media integrale su un intervallo di (x-1) ed (x+1) mi trovo che è uguale a 2f(c) ma poi non saprei come continuare, anche perchè ho pensato che dovessi provare che f(c) è una primitiva

[Studente Anonimo]

Ciao,

pensandoci un po' mi sembra forse possibile che ci sia un errore di stampa nel testo, potresti fornirci la fonte?

Stavo cercando un controesempio ma non sembra facile. Ma è solo la mia idea, meglio che aspetti gli analisti

[Matricola252]

è tra gli esercizi proposti di analisi, non credo però che ci sia un errore nel testo... comunque è questo Sia $ f : R → R $ continua. Posto
$ g(x) = int_(x-1)^(x+1) f(t) dx $
dimostrare che esiste $c ∈ (0, 1) $tale che $ g(1) − g(0) = f(c + 1) − f(c − 1)$

[pigrecoedition]

Semplifica gli integrali e effettua la sostituzione s=x+2, dopodiché per il teorema della media integrale trovi un t tale che 1

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[pilloeffe]

Ciao Matricola252,

Basta applicare il Teorema di Lagrange alla funzione $F(x) $ tenendo presente che data

$ F(x) = int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt $

si ha $ F'(x) = f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x) $
Quindi essendo nel caso in esame $a(x) = x - 1 \implies a'(x) = 1 $ e $b(x) = x + 1 \implies b'(x) = 1 $, si ha:

$ F'(x) = f(x + 1) - f(x - 1) $

Applicando dunque il suddetto Teorema di Lagrange all'intervallo $(0,1) $ si ha:

$ F'(c) = frac{F(1) - F(0)}{1 - 0} \implies f(c + 1) - f(c - 1) = F(1) - F(0) $

ove $c \in (0, 1) $