Integrale difficile
Raga come potrei impostare questo integrale $ int(-tsent(2+cos^2t))/(1+sen^2t)^2 $ dt
Risposte
Non penso sia fattibile in tempi decenti (e con tempi decenti intendo anche giorni), forse se ci fossero gli estremi di integrazione si potrebbe applicare qualche trucchetto.
Comunque se sei masochista puoi provare a scrivere $[1+(\sin t)^2]^2=[2-(\cos t)^2]^2$, che semplifica il quadrato della stessa quantità al numeratore.
Poi puoi provare a porre $\cos t = z$, in quanto poi si ha $-\sin t dt=dz$, ma c'è quella $t$ scomodissima da esprimere in funzione di $z$.
Quella $t$ può far pensare a integrazione per parti, derivi $t$ ma poi integrare il resto è noiosissimo.
Vedi tu, secondo me si fa bene con qualche trucchetto se ci sono gli estremi di integrazione; altrimenti lascerei perdere.
Aspetta altri pareri per sicurezza.
Edit: Ho notato ora che c'è un $+$ al numeratore tra il $2$ e il $\cos^2t$ e non un $-$; se non è un errore del testo lascia proprio perdere.
Comunque se sei masochista puoi provare a scrivere $[1+(\sin t)^2]^2=[2-(\cos t)^2]^2$, che semplifica il quadrato della stessa quantità al numeratore.
Poi puoi provare a porre $\cos t = z$, in quanto poi si ha $-\sin t dt=dz$, ma c'è quella $t$ scomodissima da esprimere in funzione di $z$.
Quella $t$ può far pensare a integrazione per parti, derivi $t$ ma poi integrare il resto è noiosissimo.
Vedi tu, secondo me si fa bene con qualche trucchetto se ci sono gli estremi di integrazione; altrimenti lascerei perdere.
Aspetta altri pareri per sicurezza.
Edit: Ho notato ora che c'è un $+$ al numeratore tra il $2$ e il $\cos^2t$ e non un $-$; se non è un errore del testo lascia proprio perdere.
"danix777":
$ int(-tsent(2+cos^2t))/(1+sen^2t)^2 dt$
La soluzione di questo integrale non è possibile esprimerla con funzioni elementari.
no non e un errore del testo allara devo lasciare stare?
Consiglio vivamente di lasciar stare, anche perché dubito che ti daranno mai un mostro del genere a un esame.
Ciao danix777,
In effetti l'integrale proposto è un filino laborioso, ma non è impossibile... Ispirandomi al quadrato che compare al denominatore, ove ho considerato che $sin^2 t = 1 - cos^2 t $, ho notato che si ha:
$d/dt ((t cos t)/(2 - cos^2 t)) = \frac{- t sin t(2 + cos^2 t)}{(2 - cos^2 t)^2} + \frac{cos t(2 - cos^2 t)}{(2 - cos^2 t)^2} = \frac{- t sin t(2 + cos^2 t)}{(2 - cos^2 t)^2} + \frac{cos t}{2 - cos^2 t} $
Quindi, tenendo presente che $ \frac{cos t}{2 - cos^2 t} = \frac{cos t}{1 + sin^2 t}$, si ha:
$\int \frac{- t sin t(2 + cos^2 t)}{(2 - cos^2 t)^2} dt = (t cos t)/(2 - cos^2 t) - \int \frac{cos t}{1 + sin^2 t} dt = (t cos t)/(2 - cos^2 t) - arctan(sin t) + c $
In effetti l'integrale proposto è un filino laborioso, ma non è impossibile... Ispirandomi al quadrato che compare al denominatore, ove ho considerato che $sin^2 t = 1 - cos^2 t $, ho notato che si ha:
$d/dt ((t cos t)/(2 - cos^2 t)) = \frac{- t sin t(2 + cos^2 t)}{(2 - cos^2 t)^2} + \frac{cos t(2 - cos^2 t)}{(2 - cos^2 t)^2} = \frac{- t sin t(2 + cos^2 t)}{(2 - cos^2 t)^2} + \frac{cos t}{2 - cos^2 t} $
Quindi, tenendo presente che $ \frac{cos t}{2 - cos^2 t} = \frac{cos t}{1 + sin^2 t}$, si ha:
$\int \frac{- t sin t(2 + cos^2 t)}{(2 - cos^2 t)^2} dt = (t cos t)/(2 - cos^2 t) - \int \frac{cos t}{1 + sin^2 t} dt = (t cos t)/(2 - cos^2 t) - arctan(sin t) + c $
Bella risoluzione! E io che pensavo di cavarmela con gli integrali, qui il vero duro è @pilloeffe 
"Mephlip":
Bella risoluzione!
Grazie!
"Mephlip":
E io che pensavo di cavarmela con gli integrali
Eh, il cavarsela con gli integrali... Dipende dall'integrale!
Mi ricordo ancora che nella biblioteca dell'Università di Bologna a suo tempo diedi un'occhiata ad un libro di integrali russo di cui ora non ricordo l'autore e la casa editrice, ma ricordo distintamente che vi comparivano integrali mostruosi, roba da non sapere come girare la pagina per leggerli: con quelli non credo me la caverei neanch'io...
"pilloeffe":
Mi ricordo ancora che nella biblioteca dell'Università di Bologna a suo tempo diedi un'occhiata ad un libro di integrali russo di cui ora non ricordo l'autore e la casa editrice, ma ricordo distintamente che vi comparivano integrali mostruosi, roba da non sapere come girare la pagina per leggerli: con quelli non credo me la caverei neanch'io...
Ti prego, se dovessi ricordarlo fammi avere il nome del testo per favore! Ho tipo un fetish per gli integrali, mi diverto da morire a farli e una cosa del genere sarebbe interessantissima per me
Bravo pilloeffe! Ho fatto un bel po' di confusione nei miei conti 
Allora sarai pazzo per questo
Certo che il tuo ideale di divertimento è troppo elevato per i miei gusti - preferisco un buon film
"Mephlip":
Ho tipo un fetish per gli integrali, mi diverto da morire a farli e una cosa del genere sarebbe interessantissima per me
Allora sarai pazzo per questo
Certo che il tuo ideale di divertimento è troppo elevato per i miei gusti - preferisco un buon film
"Brancaleone":
Allora sarai pazzo per questo
Grazie per il link, è stato spassoso dopo un primo momento di terrore
in realtà preferisco trovare le primitive, quindi in generale gli integrali mi piacciono indefiniti: questi brutali ma definiti quasi sempre nascondono qualche sotterfugio che permette una via di fuga dalla primitiva elementare inesistente 
"Brancaleone":
Certo che il tuo ideale di divertimento è troppo elevato per i miei gusti - preferisco un buon film
Come darti torto
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