Integrale di w estesa ad una curva
Ho la forma differenziale:
$ w=2|x|ln(xy) dx+x^2/y dy $
Che risulta esatta per x>0, y>0.
Devo calcolare l'integrale di w esteso alla curva:
$ varphi (t)=(2+cost, 1+sint) $
con t che varia tra $0$ e $ pi$.
Ora, nel caso w fosse stata esatta in tutto il suo dominio avrei dovuto trovare semplicemente una primitiva di w, ricavare gli estremi della curva e calcolare la differenza U(B)-U(A), giusto?
In questo caso invece devo sostituire la curva ed integrare.
Posso togliere il valore assoluto quando vado ad integrare e separare i due casi $ x<0$ ed $x>=0$?
$ w=2|x|ln(xy) dx+x^2/y dy $
Che risulta esatta per x>0, y>0.
Devo calcolare l'integrale di w esteso alla curva:
$ varphi (t)=(2+cost, 1+sint) $
con t che varia tra $0$ e $ pi$.
Ora, nel caso w fosse stata esatta in tutto il suo dominio avrei dovuto trovare semplicemente una primitiva di w, ricavare gli estremi della curva e calcolare la differenza U(B)-U(A), giusto?
In questo caso invece devo sostituire la curva ed integrare.
Posso togliere il valore assoluto quando vado ad integrare e separare i due casi $ x<0$ ed $x>=0$?
Risposte
Stai andando a macchinetta come tuo solito, già ti ho fatto questo commento. Questo è un ottimo esempio di come il tuo metodo di partire a capofitto con fare calcoli ti possa portare grossi problemi.
La PRIMA cosa da fare è sempre disegnare. Se tu lo avessi fatto, avresti visto che la curva \(\gamma\) giace interamente nella regione \(\{x>0, y>0\}\). Quindi quel valore assoluto è un semplice specchietto per le allodole.
La PRIMA cosa da fare è sempre disegnare. Se tu lo avessi fatto, avresti visto che la curva \(\gamma\) giace interamente nella regione \(\{x>0, y>0\}\). Quindi quel valore assoluto è un semplice specchietto per le allodole.
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