Integrale di volume (dimostrazione teorica)
Ciao 
Sul mio libro di fisica2 che seguo a matematica c'è un passaggio che non capisco:
$\int_(spazio) \nabla*(V\vecE)dV$ e dice essere zero.
Non capisco formalmente come arrivi a questa conclusione (V ed E sono potenziale e campo elettrostatico).
L'unica cosa che ho capito è che integra sullo spazio, ossia in modo migliore: $lim_(r->oo)$ dell'integrale (dove r è il raggio-vettore che indica la posizione)
Cerco disperatamente di capire dal punto di vista dell'analisi matematica perché il modo "alla fisica" non mi convince
Grazie!
Sul mio libro di fisica2 che seguo a matematica c'è un passaggio che non capisco:
$\int_(spazio) \nabla*(V\vecE)dV$ e dice essere zero.
Non capisco formalmente come arrivi a questa conclusione (V ed E sono potenziale e campo elettrostatico).
L'unica cosa che ho capito è che integra sullo spazio, ossia in modo migliore: $lim_(r->oo)$ dell'integrale (dove r è il raggio-vettore che indica la posizione)
Cerco disperatamente di capire dal punto di vista dell'analisi matematica perché il modo "alla fisica" non mi convince
Grazie!
Risposte
Ciao alterbi,
Tanto per cominciare non mi convincono le notazioni: $V$ non può essere allo stesso tempo un potenziale ed un elemento di volume $\text{d}V $, visto che integri su tutto lo spazio...
"alterbi":
Sul mio libro di fisica2 che seguo a matematica c'è un passaggio che non capisco:
$ \int_(spazio) \nabla*(V\vecE)dV $ e dice essere zero.
Non capisco formalmente come arrivi a questa conclusione (V ed E sono potenziale e campo elettrostatico).
Tanto per cominciare non mi convincono le notazioni: $V$ non può essere allo stesso tempo un potenziale ed un elemento di volume $\text{d}V $, visto che integri su tutto lo spazio...
Sì, la notazione è infelice e hai ragione a rimarcarlo, però ovviamente dV è l'elemento di volume e non ha nullaa che vedere con il V del potenziale. Purtroppo nel libro è riportato così come ho scritto, ma è proprio come dici tu!
Usiamo un'altra notazione che ho visto usare dai fisici: $\int_(spazio) \nabla*(V\vecE)d^3r$
Usiamo un'altra notazione che ho visto usare dai fisici: $\int_(spazio) \nabla*(V\vecE)d^3r$
Beh, prova a sviluppare l'integrando, oppure adattati la dimostrazione data in Fisica: su cosa si basa?
Il libro scrive che l'integrale va evientemente come 1/r e essendo l'integrazione su volume infinito: lim_(r->oo) allora va a zero. Un po' semplice.
Posso chiederti una mano gugo? Non ho davvero idee
Grazie!
Posso chiederti una mano gugo? Non ho davvero idee
Grazie!
Temo che in generale quella cosa sia falsa, perché se tu prendi ad esempio un campo radiale costante in modulo (fisicamente innammissibile) quell'integrale diverge.
L'intepretazione fisica si basa infatti sull'assunzione che all'infinito si vedono le sorgenti di campo collassate in un punto, e quindi il campo sarà quello di una carica puntiforme.
L'intepretazione fisica si basa infatti sull'assunzione che all'infinito si vedono le sorgenti di campo collassate in un punto, e quindi il campo sarà quello di una carica puntiforme.
Certo, verissimo. Ma in effetti va contestualizzato al caso elettrostatico ed il suo potenziale, come scrivevo... non a un campo qualunque! (E' una sua proprietà)
Grazie per l'osservazione però vorrei dimostrarlo nel caso indicato appunto 
Grazie per l'osservazione
però vorrei dimostrarlo nel caso indicato appunto
Qualche consiglio?
Secondo me il discorso è più fisico che matematico, ed è un po' diverso: quell'integrale non è proprio nullo, ma diventa trascurabile se si estende il dominio di integrazione su tutta la regione dello spazio nel quale il campo elettrico è apprezzabilmente diverso da zero.
Dai un'occhiata ad esempio [url=https://it.wikitolearn.org/Utente:Dan/Elettromagnetismo/Elettrostatica_nei_conduttori/Energia_del_campo_elettrico]qui[/url] oppure qui.
Dai un'occhiata ad esempio [url=https://it.wikitolearn.org/Utente:Dan/Elettromagnetismo/Elettrostatica_nei_conduttori/Energia_del_campo_elettrico]qui[/url] oppure qui.
Ringrazio per i link 
Insomma, vuoi calcolare il limite per $R -> +oo$ di:
$I(R) := int_(B(0;R)) nabla*(V(x)\ vec(E)(x))\ "d"x$
sotto la condizione che $vec(E) = - nabla V$ e che il campo sia elettrostatico.
Vediamo di abbozzare un ragionamento senza troppi fronzoli.
Per teorema della divergenza, hai:
$I(R) = int_(partial B(0;R)) V(x)\ vec(E)(x) * hat(mathbb(n))\ "d" sigma$
Quello che si sa è che, se $R$ è "grande", allora il campo è assimilabile a quello generato da una carica puntiforme posta nell'origine, sicché esso è approssimativamente radiale e decrescente coll'inverso del quadrato della distanza da $0$ ed il potenziale va coll'inverso della distanza da $0$; dunque $V(x)\ vec(E)(x) = C/r^3 * hat(mathbb(r))$; d'altra parte, il versore normale esterno alla sfera $hat(mathbb(n))$ coincide col versore del campo radiale $hat(mathbb(r))$, quindi $hat(mathbb(r)) * hat(mathbb(n)) =1$; conseguentemente:
$I(R) = int_(partial B(0;R)) C/r^3\ "d" sigma = (K)/R^2$,
in cui nella $K$ sono accorpate tutte le costanti del caso.
Ne viene che $lim_(R->+oo) I(R) =0$.
$I(R) := int_(B(0;R)) nabla*(V(x)\ vec(E)(x))\ "d"x$
sotto la condizione che $vec(E) = - nabla V$ e che il campo sia elettrostatico.
Vediamo di abbozzare un ragionamento senza troppi fronzoli.
Per teorema della divergenza, hai:
$I(R) = int_(partial B(0;R)) V(x)\ vec(E)(x) * hat(mathbb(n))\ "d" sigma$
Quello che si sa è che, se $R$ è "grande", allora il campo è assimilabile a quello generato da una carica puntiforme posta nell'origine, sicché esso è approssimativamente radiale e decrescente coll'inverso del quadrato della distanza da $0$ ed il potenziale va coll'inverso della distanza da $0$; dunque $V(x)\ vec(E)(x) = C/r^3 * hat(mathbb(r))$; d'altra parte, il versore normale esterno alla sfera $hat(mathbb(n))$ coincide col versore del campo radiale $hat(mathbb(r))$, quindi $hat(mathbb(r)) * hat(mathbb(n)) =1$; conseguentemente:
$I(R) = int_(partial B(0;R)) C/r^3\ "d" sigma = (K)/R^2$,
in cui nella $K$ sono accorpate tutte le costanti del caso.
Ne viene che $lim_(R->+oo) I(R) =0$.
Scusami ma non mi ero accorto della risposta fino ad oggi che aprendo "i miei messaggi" ho trovato una scritta gialla e ho aperto. Essendo passati alcuni giorni avevo dato per chiusa la discussione, pensavo non ti avesse interessato e mi avessi ormai snobbato 
Spero di non essere in ritardo per un grazie: sei sempre preciso e puntuale, grazie mille @gugo82!
Spero di non essere in ritardo per un grazie: sei sempre preciso e puntuale, grazie mille @gugo82!
"alterbi":
Scusami ma non mi ero accorto della risposta fino ad oggi che aprendo "i miei messaggi" ho trovato una scritta gialla e ho aperto. Essendo passati alcuni giorni avevo dato per chiusa la discussione, pensavo non ti avesse interessato e mi avessi ormai snobbato
Spero di non essere in ritardo per un grazie: sei sempre preciso e puntuale, grazie mille @gugo82!
Figurati… Difficilmente “snobbo” qualcuno: quando non intervengo i motivi sono usualmente tre: o la questione è già stata risolta da altri, oppure non trovo il tempo di scrivere tempestivamente qualcosa di serio/sensato (il che, tra lavoro ed impegni familiari, sta capitando sempre più spesso), ovvero mi sono dimenticato del thread (e qui l'età che avanza ha le sue colpe).
In questo caso, la seconda che ho detto.
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