Integrale di volume di una sfera
Il testo del problema è:
Calcolare il volume della porzione di solido che `e interno alla sfera di centro l’origine e raggio 2, in
cui si considera $ z>=0 $ , che si proietta nel cerchio $ x^2+y^2=2x $ .
Il problema che ho avuto è stato il calcolo dell'integrale piuttosto che trovare gli estremi di integrazione.
Innanzittutto ho operato il seguente cambiamento di coordinate visto che il cerchio non ha come centro l'origine:
$ { ( x=1+rho*cosvartheta ),( y=rho*sinvartheta ),( z=z ):} $
Visto che il raggio del cerchio è pari a 1 ho considerato che $ 0<=rho<=1 $. Considerando la parte interna della sfera $ x^2+y^2+z^2=4 $ si ha che $ 0<=z<=sqrt(-rho^2-2rho*cosvartheta +3) $. Per quanto riguarda $ vartheta $ ho preso in considerazione il suo dominio naturale ovvero $ 0<=vartheta<=2pi $.
Quindi l'integrale è:
$ int_(0)^(2*pi ) int_(0)^(1) int_(0)^(sqrt(-p^2-2*rho*cosvartheta+3))(rho) dz drho dvartheta $
Il mio problema è che l'integrale doppio è molto difficile. Qualcuno mi saprebbe dire se ho sbagliato nella determinazione degli estremi di integrazione, oppure se c'è qualche modo più rapido per risolvere l'esercizio?
Calcolare il volume della porzione di solido che `e interno alla sfera di centro l’origine e raggio 2, in
cui si considera $ z>=0 $ , che si proietta nel cerchio $ x^2+y^2=2x $ .
Il problema che ho avuto è stato il calcolo dell'integrale piuttosto che trovare gli estremi di integrazione.
Innanzittutto ho operato il seguente cambiamento di coordinate visto che il cerchio non ha come centro l'origine:
$ { ( x=1+rho*cosvartheta ),( y=rho*sinvartheta ),( z=z ):} $
Visto che il raggio del cerchio è pari a 1 ho considerato che $ 0<=rho<=1 $. Considerando la parte interna della sfera $ x^2+y^2+z^2=4 $ si ha che $ 0<=z<=sqrt(-rho^2-2rho*cosvartheta +3) $. Per quanto riguarda $ vartheta $ ho preso in considerazione il suo dominio naturale ovvero $ 0<=vartheta<=2pi $.
Quindi l'integrale è:
$ int_(0)^(2*pi ) int_(0)^(1) int_(0)^(sqrt(-p^2-2*rho*cosvartheta+3))(rho) dz drho dvartheta $
Il mio problema è che l'integrale doppio è molto difficile. Qualcuno mi saprebbe dire se ho sbagliato nella determinazione degli estremi di integrazione, oppure se c'è qualche modo più rapido per risolvere l'esercizio?
Risposte
Guarda io sto studiando queste cose come te e anche io trovo difficoltà, però provo a dirti: hai provato con le coordinate sferiche piuttosto che quelle cilindriche? Non lo so eh, ripeto provo a dirti qualcosa, intanto magari arriva qualcuno di preparato
"Jabberwocky":
Guarda io sto studiando queste cose come te e anche io trovo difficoltà, però provo a dirti: hai provato con le coordinate sferiche piuttosto che quelle cilindriche? Non lo so eh, ripeto provo a dirti qualcosa, intanto magari arriva qualcuno di preparato
Si c'ho pensato, il problema è che se le utilizzi e sostituisci nel cerchio ti ritrovi che \( \rho *sin\phi<=2*cos\vartheta \) .
Io, invece, ho pensato che si possa risolvere sfruttando delle simmetrie, però non ho capito esattamente la rappresentazione grafica.
usa le coordinate cilindriche
per evitare l'integrale rognoso conviene trovare l'equazione polare della circonferenza
$rho^2-2rhocostheta=0$ cioè $rho(rho-2costheta)=0$
in questo modo puoi parametrizzare il cerchio in questo modo :
$ { ( x=rhocostheta ),( y=rhosentheta ):} $
con $theta in [-pi/2,pi/2]; rho in [0,2costheta]$
per evitare l'integrale rognoso conviene trovare l'equazione polare della circonferenza
$rho^2-2rhocostheta=0$ cioè $rho(rho-2costheta)=0$
in questo modo puoi parametrizzare il cerchio in questo modo :
$ { ( x=rhocostheta ),( y=rhosentheta ):} $
con $theta in [-pi/2,pi/2]; rho in [0,2costheta]$
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