Integrale di volume con sfera
Salve a tutti,
ho un problemino con un integrale di volume: il problema chiede di calcolare $ int_(E) z dxdydz $ dove, se B è la sfera, $ E={(x,y,z) in B | z>= 1} $ .
Ora, il problema è piuttosto facile se esprimo il raggio delle varie sezioni orizzontali della sfera come $ sqrt(4-z^2) $ . Infatti viene che l'area di suddetta sezione è $ pi(4-z^2) $ è l'integrale è praticamente risolto e risulta essere uguale a $9/4 pi$.
Il problema è che io ho provato a risolverlo parametrizzando con le coordinate sferiche.
Quindi ho che l'integrale sara uguale a $ int_(0)^(2pi) int_(0)^(pi/3) int_(1/costheta)^(2/costheta) rho^3 costheta sin theta drho d theta d varphi $ dove $rho$ la faccio andare da $1/cos theta$ a $2/cos theta$ perché so che z va da 1 a 2 e che $z=rho cos theta$. Ovviamente il $rho$ è alla terza perchè c'è anche quello proveniente dallo Jacobiano della parametrizzazione.
Questo procedimento mi sembra giusto, solo che se risolvo l'integrale viene fuori $45/4 pi$.
Ho ricontrollato varie volte i calcoli, ma niente. C'è qualcosa che non va nel procedimento?
ho un problemino con un integrale di volume: il problema chiede di calcolare $ int_(E) z dxdydz $ dove, se B è la sfera, $ E={(x,y,z) in B | z>= 1} $ .
Ora, il problema è piuttosto facile se esprimo il raggio delle varie sezioni orizzontali della sfera come $ sqrt(4-z^2) $ . Infatti viene che l'area di suddetta sezione è $ pi(4-z^2) $ è l'integrale è praticamente risolto e risulta essere uguale a $9/4 pi$.
Il problema è che io ho provato a risolverlo parametrizzando con le coordinate sferiche.
Quindi ho che l'integrale sara uguale a $ int_(0)^(2pi) int_(0)^(pi/3) int_(1/costheta)^(2/costheta) rho^3 costheta sin theta drho d theta d varphi $ dove $rho$ la faccio andare da $1/cos theta$ a $2/cos theta$ perché so che z va da 1 a 2 e che $z=rho cos theta$. Ovviamente il $rho$ è alla terza perchè c'è anche quello proveniente dallo Jacobiano della parametrizzazione.
Questo procedimento mi sembra giusto, solo che se risolvo l'integrale viene fuori $45/4 pi$.
Ho ricontrollato varie volte i calcoli, ma niente. C'è qualcosa che non va nel procedimento?
Risposte
Urca, giusto! Fantastico.
Grazie mille.
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